微分積分学準備例

$45 {(\frac{2}{5})}^{x} = 10$

ステップ 1

$45 {(\frac{2}{5})}^{x} = 10$ の各項を $45$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$45 {(\frac{2}{5})}^{x} = 10$ の各項を $45$ で割ります。

$\frac{45 {(\frac{2}{5})}^{x}}{45} = \frac{10}{45}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$45$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{45 {(\frac{2}{5})}^{x}}{45} = \frac{10}{45}$

ステップ 1.2.1.2

${(\frac{2}{5})}^{x}$ を $1$ で割ります。

${(\frac{2}{5})}^{x} = \frac{10}{45}$

ステップ 1.2.2

積の法則を $\frac{2}{5}$ に当てはめます。

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{10}{45}$

ステップ 1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$10$ と $45$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.1

$5$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{5 (2)}{45}$

ステップ 1.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.2.1

$5$ を $45$ で因数分解します。

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 9}$

ステップ 1.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 9}$

ステップ 1.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{2}{9}$

ステップ 2

両辺に $5^{x}$ を掛けます。

$\frac{2^{x}}{5^{x}} \cdot 5^{x} = \frac{2}{9} \cdot 5^{x}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$5^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2^{x}}{5^{x}} \cdot 5^{x} = \frac{2}{9} \cdot 5^{x}$

ステップ 3.1.1.2

式を書き換えます。

$2^{x} = \frac{2}{9} \cdot 5^{x}$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{2}{9}$ と $5^{x}$ をまとめます。

$2^{x} = \frac{2 \cdot 5^{x}}{9}$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺の対数をとります。

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{2 \cdot 5^{x}}{9})$

ステップ 4.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{x})$ を展開します。

$x \ln (2) = \ln (\frac{2 \cdot 5^{x}}{9})$

ステップ 4.3

$\ln (\frac{2 \cdot 5^{x}}{9})$ を $\ln (2 \cdot 5^{x}) - \ln (9)$ に書き換えます。

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - \ln (9)$

ステップ 4.4

$\ln (9)$ を $\ln (3^{2})$ に書き換えます。

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - \ln (3^{2})$

ステップ 4.5

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{2})$ を展開します。

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - (2 \ln (3))$

ステップ 4.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - 2 \ln (3)$

ステップ 4.7

$\ln (2 \cdot 5^{x})$ を $\ln (2) + \ln (5^{x})$ に書き換えます。

$x \ln (2) = \ln (2) + \ln (5^{x}) - 2 \ln (3)$

ステップ 4.8

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (5^{x})$ を展開します。

$x \ln (2) = \ln (2) + x \ln (5) - 2 \ln (3)$

ステップ 4.9

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 4.9.1

右辺を簡約します。

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ステップ 4.9.1.1

$\ln (2) + x \ln (5) - 2 \ln (3)$ を簡約します。

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ステップ 4.9.1.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.9.1.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (3)$ を簡約します。

$x \ln (2) = \ln (2) + x \ln (5) - \ln (3^{2})$

ステップ 4.9.1.1.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$x \ln (2) = \ln (2) + x \ln (5) - \ln (9)$

ステップ 4.9.1.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$x \ln (2) = x \ln (5) + \ln (\frac{2}{9})$

ステップ 4.9.2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$x \ln (2) - x \ln (5) - \ln (\frac{2}{9}) = 0$

ステップ 4.9.3

方程式の両辺に $\ln (\frac{2}{9})$ を足します。

$x \ln (2) - x \ln (5) = \ln (\frac{2}{9})$

ステップ 4.9.4

$x$ を $x \ln (2) - x \ln (5)$ で因数分解します。

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ステップ 4.9.4.1

$x$ を $x \ln (2)$ で因数分解します。

$x (\ln (2)) - x \ln (5) = \ln (\frac{2}{9})$

ステップ 4.9.4.2

$x$ を $- x \ln (5)$ で因数分解します。

$x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$

ステップ 4.9.4.3

$x$ を $x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (5))$ で因数分解します。

$x (\ln (2) - 1 \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$

ステップ 4.9.5

$- 1 \ln (5)$ を $- \ln (5)$ に書き換えます。

$x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$

ステップ 4.9.6

$x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$ の各項を $\ln (2) - \ln (5)$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.9.6.1

$x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$ の各項を $\ln (2) - \ln (5)$ で割ります。

$\frac{x (\ln (2) - \ln (5))}{\ln (2) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

ステップ 4.9.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.9.6.2.1

$\ln (2) - \ln (5)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.9.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (\ln (2) - \ln (5))}{\ln (2) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

ステップ 4.9.6.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

10進法形式：

$x = 1.64148489 \dots$

微分積分学準備 例

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