微分積分学準備例

$2 \log (x) - \log (5) = \log (x + 10)$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$2 \log (x) - \log (5) - \log (x + 10) = 0$

ステップ 2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$2 \log (x) - \log (5) - \log (x + 10)$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \log (x)$ を簡約します。

$\log (x^{2}) - \log (5) - \log (x + 10) = 0$

ステップ 2.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log (\frac{x^{2}}{5}) - \log (x + 10) = 0$

ステップ 2.1.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log (\frac{\frac{x^{2}}{5}}{x + 10}) = 0$

ステップ 2.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\log (\frac{x^{2}}{5} \cdot \frac{1}{x + 10}) = 0$

ステップ 2.1.5

$\frac{x^{2}}{5}$ に $\frac{1}{x + 10}$ をかけます。

$\log (\frac{x^{2}}{5 (x + 10)}) = 0$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\log (\frac{x^{2}}{5 (x + 10)}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$10^{0} = \frac{x^{2}}{5 (x + 10)}$

ステップ 4

分数を削除するためにたすき掛けします。

$x^{2} = 10^{0} (5 (x + 10))$

ステップ 5

$10^{0} (5 (x + 10))$ を簡約します。

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ステップ 5.1

式を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x^{2} = 1 (5 (x + 10))$

ステップ 5.1.2

$5 (x + 10)$ に $1$ をかけます。

$x^{2} = 5 (x + 10)$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} = 5 x + 5 \cdot 10$

ステップ 5.3

$5$ に $10$ をかけます。

$x^{2} = 5 x + 50$

ステップ 6

方程式の両辺から $5 x$ を引きます。

$x^{2} - 5 x = 50$

ステップ 7

$x$ を $x^{2} - 5 x$ で因数分解します。

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ステップ 7.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x - 5 x = 50$

ステップ 7.2

$x$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 50$

ステップ 7.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 5$ で因数分解します。

$x (x - 5) = 50$

ステップ 8

$x (x - 5)$ を簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 50$

ステップ 8.2

式を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 5 = 50$

ステップ 8.2.2

$- 5$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 5 x = 50$

ステップ 9

方程式の両辺から $50$ を引きます。

$x^{2} - 5 x - 50 = 0$

ステップ 10

たすき掛けを利用して $x^{2} - 5 x - 50$ を因数分解します。

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ステップ 10.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 50$ で、その和が $- 5$ です。

$- 10, 5$

ステップ 10.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 10) (x + 5) = 0$

ステップ 11

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 10 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 12

$x - 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x - 10$ が $0$ に等しいとします。

$x - 10 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$x = 10$

ステップ 13

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 14

最終解は $(x - 10) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 10, - 5$

ステップ 15

$2 \log (x) - \log (5) = \log (x + 10)$ が真にならない解を除外します。

$x = 10$

微分積分学準備 例

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