微分積分学準備例

$2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) = 3 \ln (2)$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2) = 0$

ステップ 2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2)$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x + 3)$ を簡約します。

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2) = 0$

ステップ 2.1.1.2

対数の中の $3$ を移動させて $- 3 \ln (2)$ を簡約します。

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - \ln (2^{3}) = 0$

ステップ 2.1.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - \ln (8) = 0$

ステップ 2.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}) - \ln (8) = 0$

ステップ 2.1.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}}{8}) = 0$

ステップ 2.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1} \cdot \frac{1}{8}) = 0$

ステップ 2.1.5

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{(x + 1) \cdot 8}) = 0$

ステップ 2.1.6

$8$ を $x + 1$ の左に移動させます。

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}) = 0$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{0} = \frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}$

ステップ 4

分数を削除するためにたすき掛けします。

${(x + 3)}^{2} = e^{0} (8 (x + 1))$

ステップ 5

$e^{0} (8 (x + 1))$ を簡約します。

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ステップ 5.1

式を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

${(x + 3)}^{2} = 1 (8 (x + 1))$

ステップ 5.1.2

$8 (x + 1)$ に $1$ をかけます。

${(x + 3)}^{2} = 8 (x + 1)$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

${(x + 3)}^{2} = 8 x + 8 \cdot 1$

ステップ 5.3

$8$ に $1$ をかけます。

${(x + 3)}^{2} = 8 x + 8$

ステップ 6

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺から $8 x$ を引きます。

${(x + 3)}^{2} - 8 x = 8$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

${(x + 3)}^{2}$ を $(x + 3) (x + 3)$ に書き換えます。

$(x + 3) (x + 3) - 8 x = 8$

ステップ 6.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 3) (x + 3)$ を展開します。

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ステップ 6.2.2.1

分配則を当てはめます。

$x (x + 3) + 3 (x + 3) - 8 x = 8$

ステップ 6.2.2.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) - 8 x = 8$

ステップ 6.2.2.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

ステップ 6.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

ステップ 6.2.3.1.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

ステップ 6.2.3.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - 8 x = 8$

ステップ 6.2.3.2

$3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$x^{2} + 6 x + 9 - 8 x = 8$

ステップ 6.3

$6 x$ から $8 x$ を引きます。

$x^{2} - 2 x + 9 = 8$

ステップ 7

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x^{2} - 2 x = 8 - 9$

ステップ 7.2

$8$ から $9$ を引きます。

$x^{2} - 2 x = - 1$

ステップ 8

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

ステップ 9

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 9.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

ステップ 9.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 9.3

多項式を書き換えます。

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

ステップ 9.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 10

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 11

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

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