微分積分学準備例

$2 x^{5} - 15 x^{3} - 27 x = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$x$ を $2 x^{5} - 15 x^{3} - 27 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x$ を $2 x^{5}$ で因数分解します。

$x (2 x^{4}) - 15 x^{3} - 27 x = 0$

ステップ 1.1.2

$x$ を $- 15 x^{3}$ で因数分解します。

$x (2 x^{4}) + x (- 15 x^{2}) - 27 x = 0$

ステップ 1.1.3

$x$ を $- 27 x$ で因数分解します。

$x (2 x^{4}) + x (- 15 x^{2}) + x \cdot - 27 = 0$

ステップ 1.1.4

$x$ を $x (2 x^{4}) + x (- 15 x^{2})$ で因数分解します。

$x (2 x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 27 = 0$

ステップ 1.1.5

$x$ を $x (2 x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 27$ で因数分解します。

$x (2 x^{4} - 15 x^{2} - 27) = 0$

ステップ 1.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x (2 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} - 27) = 0$

ステップ 1.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$x (2 u^{2} - 15 u - 27) = 0$

ステップ 1.4

群による因数分解。

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ステップ 1.4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 27 = - 54$ で和が $b = - 15$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.4.1.1

$- 15$ を $- 15 u$ で因数分解します。

$x (2 u^{2} - 15 u - 27) = 0$

ステップ 1.4.1.2

$- 15$ を $3$ プラス $- 18$ に書き換える

$x (2 u^{2} + (3 - 18) u - 27) = 0$

ステップ 1.4.1.3

分配則を当てはめます。

$x (2 u^{2} + 3 u - 18 u - 27) = 0$

ステップ 1.4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$x ((2 u^{2} + 3 u) - 18 u - 27) = 0$

ステップ 1.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (u (2 u + 3) - 9 (2 u + 3)) = 0$

ステップ 1.4.3

最大公約数 $2 u + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$x ((2 u + 3) (u - 9)) = 0$

ステップ 1.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x ((2 x^{2} + 3) (x^{2} - 9)) = 0$

ステップ 1.6

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x ((2 x^{2} + 3) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

ステップ 1.7

因数分解。

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ステップ 1.7.1

因数分解。

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ステップ 1.7.1.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$x ((2 x^{2} + 3) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

ステップ 1.7.1.2

不要な括弧を削除します。

$x ((2 x^{2} + 3) (x + 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 1.7.2

不要な括弧を削除します。

$x (2 x^{2} + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$2 x^{2} + 3 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 4

$2 x^{2} + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$2 x^{2} + 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x^{2} + 3 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $2 x^{2} + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 x^{2} = - 3$

ステップ 4.2.2

$2 x^{2} = - 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$2 x^{2} = - 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{3}{2}$

ステップ 4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.4

$\pm \sqrt{- \frac{3}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \sqrt{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.4.3

$\sqrt{\frac{3}{2}}$ を $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

ステップ 4.2.4.4

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm i (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

ステップ 4.2.4.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.2.4.5.1

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 4.2.4.5.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 4.2.4.5.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 4.2.4.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.2.4.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 4.2.4.5.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.4.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.2.4.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.2.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.2.4.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.4.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.2.4.5.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 4.2.4.5.6.5

指数を求めます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.2.4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.4.6.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

ステップ 4.2.4.6.2

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{6}}{2}$

ステップ 4.2.4.7

$i$ と $\frac{\sqrt{6}}{2}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{2}$

ステップ 4.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i \sqrt{6}}{2}$

ステップ 4.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i \sqrt{6}}{2}$

ステップ 4.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i \sqrt{6}}{2}, - \frac{i \sqrt{6}}{2}$

ステップ 5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 7

最終解は $x (2 x^{2} + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{i \sqrt{6}}{2}, - \frac{i \sqrt{6}}{2}, - 3, 3$

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