微分積分学準備例

$3 x^{4} + 3 x^{3} - 17 x^{2} + x - 6 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

項を再分類します。

$3 x^{3} + x + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

ステップ 1.2

$x$ を $3 x^{3} + x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x$ を $3 x^{3}$ で因数分解します。

$x (3 x^{2}) + x + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

ステップ 1.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$x (3 x^{2}) + x + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x (3 x^{2}) + x \cdot 1 + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ を $x (3 x^{2}) + x \cdot 1$ で因数分解します。

$x (3 x^{2} + 1) + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

ステップ 1.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x (3 x^{2} + 1) + 3 {(x^{2})}^{2} - 17 x^{2} - 6 = 0$

ステップ 1.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} - 17 u - 6 = 0$

ステップ 1.5

群による因数分解。

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ステップ 1.5.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ で和が $b = - 17$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.5.1.1

$- 17$ を $- 17 u$ で因数分解します。

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} - 17 u - 6 = 0$

ステップ 1.5.1.2

$- 17$ を $1$ プラス $- 18$ に書き換える

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + (1 - 18) u - 6 = 0$

ステップ 1.5.1.3

分配則を当てはめます。

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + 1 u - 18 u - 6 = 0$

ステップ 1.5.1.4

$u$ に $1$ をかけます。

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + u - 18 u - 6 = 0$

ステップ 1.5.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.5.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + u - 18 u - 6 = 0$

ステップ 1.5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x^{2} + 1) + u (3 u + 1) - 6 (3 u + 1) = 0$

ステップ 1.5.3

最大公約数 $3 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$x (3 x^{2} + 1) + (3 u + 1) (u - 6) = 0$

ステップ 1.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x (3 x^{2} + 1) + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6) = 0$

ステップ 1.7

$3 x^{2} + 1$ を $x (3 x^{2} + 1) + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6)$ で因数分解します。

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ステップ 1.7.1

$3 x^{2} + 1$ を $x (3 x^{2} + 1)$ で因数分解します。

$(3 x^{2} + 1) x + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6) = 0$

ステップ 1.7.2

$3 x^{2} + 1$ を $(3 x^{2} + 1) x + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6)$ で因数分解します。

$(3 x^{2} + 1) (x + x^{2} - 6) = 0$

ステップ 1.8

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(3 x^{2} + 1) (u + u^{2} - 6) = 0$

ステップ 1.9

たすき掛けを利用して $u + u^{2} - 6$ を因数分解します。

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ステップ 1.9.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $1$ です。

$- 2, 3$

ステップ 1.9.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(3 x^{2} + 1) ((u - 2) (u + 3)) = 0$

ステップ 1.10

因数分解。

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ステップ 1.10.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(3 x^{2} + 1) ((x - 2) (x + 3)) = 0$

ステップ 1.10.2

不要な括弧を削除します。

$(3 x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x^{2} + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 3

$3 x^{2} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$3 x^{2} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x^{2} + 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $3 x^{2} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$3 x^{2} = - 1$

ステップ 3.2.2

$3 x^{2} = - 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3 x^{2} = - 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

ステップ 3.2.4

$\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$- \frac{1}{3}$ を $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.4.1.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

ステップ 3.2.4.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

ステップ 3.2.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

ステップ 3.2.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

ステップ 3.2.4.4

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.2.4.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.2.4.6

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

ステップ 3.2.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.2.4.7.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 3.2.4.7.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 3.2.4.7.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 3.2.4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.2.4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 3.2.4.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.2.4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.2.4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.2.4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 3.2.4.7.6.5

指数を求めます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.2.4.8

$i$ と $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 6

最終解は $(3 x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, 2, - 3$

微分積分学準備 例

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