微分積分学準備例

3 = {log}_{x} (512)

$3 = \log_{x} (512)$

ステップ 1

方程式を

$\log_{x} (512) = 3$ として書き換えます。

$\log_{x} (512) = 3$

ステップ 2

対数の定義を利用して

$\log_{x} (512) = 3$ を指数表記に書き換えます。

$x$ と

$b$ が正の実数で

$b \neq 1$ ならば、

$\log_{b} (x) = y$ は

$b^{y} = x$ と同値です。

$x^{3} = 512$

ステップ 3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺から

$512$ を引きます。

$x^{3} - 512 = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$512$ を

$8^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} - 8^{3} = 0$

ステップ 3.2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、

$a = x$ であり、

$b = 8$ です。

$(x - 8) (x^{2} + x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

ステップ 3.2.3

簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$8$ を

$x$ の左に移動させます。

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 8^{2}) = 0$

ステップ 3.2.3.2

$8$ を

$2$ 乗します。

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が

$0$ と等しいならば、式全体は

$0$ と等しくなります。

$x - 8 = 0$

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

ステップ 3.4

$x - 8$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$x - 8$ が

$0$ に等しいとします。

$x - 8 = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に

$8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 3.5

$x^{2} + 8 x + 64$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x^{2} + 8 x + 64$ が

$0$ に等しいとします。

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5.2.2

$a = 1$ 、

$b = 8$ 、および

$c = 64$ を二次方程式の解の公式に代入し、

$x$ の値を求めます。

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3

簡約します。

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ステップ 3.5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.2.3.1.1

$8$ を

$2$ 乗します。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 64$ を掛けます。

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ステップ 3.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に

$1$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に

$64$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.3

$64$ から

$256$ を引きます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.4

$- 192$ を

$- 1 (192)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (192)}$ を

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を

$i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.7

$192$ を

$8^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.2.3.1.7.1

$64$ を

$192$ で因数分解します。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.7.2

$64$ を

$8^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.9

$8$ を

$i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.2

$2$ に

$1$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3.5.2.3.3

$\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

ステップ 3.5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

ステップ 3.6

最終解は

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

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