微分積分学準備例

$| x^{2} - 2 x | = 8$

ステップ 1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x^{2} - 2 x = \pm 8$

ステップ 2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x^{2} - 2 x = 8$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

ステップ 2.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 8$ を因数分解します。

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ステップ 2.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 8$ で、その和が $- 2$ です。

$- 4, 2$

ステップ 2.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 4) (x + 2) = 0$

ステップ 2.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 2.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.6

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.7

最終解は $(x - 4) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 2$

ステップ 2.8

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x^{2} - 2 x = - 8$

ステップ 2.9

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x^{2} - 2 x + 8 = 0$

ステップ 2.10

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.11

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 8$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.12

簡約します。

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ステップ 2.12.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.12.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.12.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 8$ を掛けます。

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ステップ 2.12.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.12.1.2.2

$- 4$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.12.1.3

$4$ から $32$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.12.1.4

$- 28$ を $- 1 (28)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.12.1.5

$\sqrt{- 1 (28)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.12.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.12.1.7

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

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ステップ 2.12.1.7.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.12.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.12.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.12.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.12.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.12.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i \sqrt{7}$

ステップ 2.13

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

ステップ 2.14

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4, - 2, 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例