微分積分学準備例

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$

ステップ 2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5)$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \log_{2} (x)$ を簡約します。

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (x + 5) = 4$

ステップ 2.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x + 5}) = 4$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\log_{2} (\frac{x^{2}}{x + 5}) = 4$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$2^{4} = \frac{x^{2}}{x + 5}$

ステップ 4

分数を削除するためにたすき掛けします。

$x^{2} = 2^{4} (x + 5)$

ステップ 5

$2^{4} (x + 5)$ を簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ を $4$ 乗します。

$x^{2} = 16 (x + 5)$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} = 16 x + 16 \cdot 5$

ステップ 5.3

$16$ に $5$ をかけます。

$x^{2} = 16 x + 80$

ステップ 6

方程式の両辺から $16 x$ を引きます。

$x^{2} - 16 x = 80$

ステップ 7

$x$ を $x^{2} - 16 x$ で因数分解します。

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ステップ 7.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x - 16 x = 80$

ステップ 7.2

$x$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot - 16 = 80$

ステップ 7.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 16$ で因数分解します。

$x (x - 16) = 80$

ステップ 8

$x (x - 16)$ を簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 16 = 80$

ステップ 8.2

式を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 16 = 80$

ステップ 8.2.2

$- 16$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 16 x = 80$

ステップ 9

方程式の両辺から $80$ を引きます。

$x^{2} - 16 x - 80 = 0$

ステップ 10

たすき掛けを利用して $x^{2} - 16 x - 80$ を因数分解します。

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ステップ 10.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 80$ で、その和が $- 16$ です。

$- 20, 4$

ステップ 10.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 20) (x + 4) = 0$

ステップ 11

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 20 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 12

$x - 20$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x - 20$ が $0$ に等しいとします。

$x - 20 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $20$ を足します。

$x = 20$

ステップ 13

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 14

最終解は $(x - 20) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 20, - 4$

ステップ 15

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$ が真にならない解を除外します。

$x = 20$

微分積分学準備 例

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