微分積分学準備例

$2 \log_{7} (1 - x) = \log_{7} (7 - x)$

ステップ 1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \log_{7} (1 - x)$ を簡約します。

$\log_{7} ({(1 - x)}^{2}) = \log_{7} (7 - x)$

ステップ 2

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

${(1 - x)}^{2} = 7 - x$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.1.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

${(1 - x)}^{2} + x = 7$

ステップ 3.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

${(1 - x)}^{2}$ を $(1 - x) (1 - x)$ に書き換えます。

$(1 - x) (1 - x) + x = 7$

ステップ 3.1.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - x) (1 - x)$ を展開します。

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ステップ 3.1.2.2.1

分配則を当てはめます。

$1 (1 - x) - x (1 - x) + x = 7$

ステップ 3.1.2.2.2

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x) + x = 7$

ステップ 3.1.2.2.3

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + x = 7$

ステップ 3.1.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + x = 7$

ステップ 3.1.2.3.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$1 - x - x \cdot 1 - x (- x) + x = 7$

ステップ 3.1.2.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 - x - x - x (- x) + x = 7$

ステップ 3.1.2.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x + x = 7$

ステップ 3.1.2.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.1.2.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) + x = 7$

ステップ 3.1.2.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2} + x = 7$

ステップ 3.1.2.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 - x - x + 1 x^{2} + x = 7$

ステップ 3.1.2.3.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$1 - x - x + x^{2} + x = 7$

ステップ 3.1.2.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$1 - 2 x + x^{2} + x = 7$

ステップ 3.1.3

$- 2 x$ と $x$ をたし算します。

$1 + x^{2} - x = 7$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$1 + x^{2} - x - 7 = 0$

ステップ 3.3

$1$ から $7$ を引きます。

$x^{2} - x - 6 = 0$

ステップ 3.4

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $- 1$ です。

$- 3, 2$

ステップ 3.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) (x + 2) = 0$

ステップ 3.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 3.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 3.7

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.7.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 3.7.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 3.8

最終解は $(x - 3) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 2$

ステップ 4

$2 \log_{7} (1 - x) = \log_{7} (7 - x)$ が真にならない解を除外します。

$x = - 2$

微分積分学準備 例

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