微分積分学準備例

$2 \log_{8} (x - 2) + \log_{8} (16) = 2$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

$16$ の対数の底 $8$ は $\frac{4}{3}$ です。

$2 \log_{8} (x - 2) + \frac{4}{3} = 2$

ステップ 1.2

$2 \log_{8} (x - 2)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 \log_{8} (x - 2) \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3} = 2$

ステップ 1.3

項を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$2 \log_{8} (x - 2)$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3}{3} + \frac{4}{3} = 2$

ステップ 1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3 + 4}{3} = 2$

ステップ 1.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.1

$2$ を $2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3 + 4$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.1.1

$2$ を $2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3) + 4}{3} = 2$

ステップ 1.4.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3) + 2 \cdot 2}{3} = 2$

ステップ 1.4.1.3

$2$ を $2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3) + 2 \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3 + 2)}{3} = 2$

ステップ 1.4.2

$3$ を $\log_{8} (x - 2)$ の左に移動させます。

$\frac{2 (3 \log_{8} (x - 2) + 2)}{3} = 2$

ステップ 2

両辺に $3$ を掛けます。

$\frac{2 (3 \log_{8} (x - 2) + 2)}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{2 (3 \log_{8} (x - 2) + 2)}{3} \cdot 3$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \log_{8} (x - 2)$ を簡約します。

$\frac{2 (\log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2)}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$

ステップ 3.1.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (\log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2)}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$

ステップ 3.1.1.1.3

式を書き換えます。

$2 (\log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2) = 2 \cdot 3$

ステップ 3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$2 \log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2 \cdot 2 = 2 \cdot 3$

ステップ 3.1.1.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 \log_{8} ({(x - 2)}^{3})$ を簡約します。

$\log_{8} ({({(x - 2)}^{3})}^{2}) + 2 \cdot 2 = 2 \cdot 3$

ステップ 3.1.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\log_{8} ({({(x - 2)}^{3})}^{2}) + 4 = 2 \cdot 3$

ステップ 3.1.1.5

${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.1.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\log_{8} ({(x - 2)}^{3 \cdot 2}) + 4 = 2 \cdot 3$

ステップ 3.1.1.5.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) + 4 = 2 \cdot 3$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) + 4 = 6$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6})$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.1.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) = 6 - 4$

ステップ 4.1.2

$6$ から $4$ を引きます。

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) = 2$

ステップ 4.2

対数の定義を利用して $\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) = 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$8^{2} = {(x - 2)}^{6}$

ステップ 4.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式を ${(x - 2)}^{6} = 8^{2}$ として書き換えます。

${(x - 2)}^{6} = 8^{2}$

ステップ 4.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - 2 = \pm \sqrt[6]{8^{2}}$

ステップ 4.3.3

$\pm \sqrt[6]{8^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

$8$ を $2$ 乗します。

$x - 2 = \pm \sqrt[6]{64}$

ステップ 4.3.3.2

$64$ を $2^{6}$ に書き換えます。

$x - 2 = \pm \sqrt[6]{2^{6}}$

ステップ 4.3.3.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x - 2 = \pm 2$

ステップ 4.3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x - 2 = 2$

ステップ 4.3.4.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.4.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2 + 2$

ステップ 4.3.4.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$x = 4$

ステップ 4.3.4.3

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x - 2 = - 2$

ステップ 4.3.4.4

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.4.4.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = - 2 + 2$

ステップ 4.3.4.4.2

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$x = 0$

ステップ 4.3.4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4, 0$

ステップ 5

$2 \log_{8} (x - 2) + \log_{8} (16) = 2$ が真にならない解を除外します。

$x = 4$

微分積分学準備 例

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