微分積分学準備例

$4 - \sin (x) = \cos (2 x)$

ステップ 1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$4 - \sin (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

ステップ 2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- \sin (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4$

ステップ 3

方程式の両辺に $2 \sin^{2} (x)$ を足します。

$- \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 1 - 4$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$1$ から $4$ を引きます。

$- \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = - 3$

ステップ 5

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.1

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$- (u) + 2 {(u)}^{2} = - 3$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$- u + 2 u^{2} + 3 = 0$

ステップ 5.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.4

$a = 2$ 、 $b = - 1$ 、および $c = 3$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 3)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.5

簡約します。

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ステップ 5.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.5.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 3$ を掛けます。

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ステップ 5.5.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.5.1.2.2

$- 8$ に $3$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.5.1.3

$1$ から $24$ を引きます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.5.1.4

$- 23$ を $- 1 (23)$ に書き換えます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.5.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ に書き換えます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{23}}{4}$

ステップ 5.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}$

ステップ 5.7

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}$

ステップ 5.8

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}$

$\sin (x) = \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}$

ステップ 5.9

$\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 5.9.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1 + i \sqrt{23}}{4})$

ステップ 5.9.2

$\arcsin (\frac{1 + i \sqrt{23}}{4})$ の逆正弦は未定義です。

未定義

ステップ 5.10

$\sin (x) = \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 5.10.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1 - i \sqrt{23}}{4})$

ステップ 5.10.2

$\arcsin (\frac{1 - i \sqrt{23}}{4})$ の逆正弦は未定義です。

未定義

ステップ 5.11

すべての解をまとめます。

解がありません

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