微分積分学準備例

$3 + \csc (x) = \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$

ステップ 1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ を引きます。

$\csc (x) - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

ステップ 1.2

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

ステップ 1.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

ステップ 1.4

$- \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

ステップ 1.5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.5.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ に $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ をかけます。

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

ステップ 1.5.2

$\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)} = - 3$

ステップ 1.5.3

$(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

ステップ 1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 - 2 \sin (x) - 5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

ステップ 1.7

$- 2 \sin (x)$ から $5 \sin (x)$ を引きます。

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x)), 1$

ステップ 2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$

ステップ 3

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ の各項に $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.1

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ の各項に $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ を掛けます。

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

ステップ 3.2.1.2

式を書き換えます。

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

分配則を当てはめます。

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

ステップ 3.3.1.2

並べ替えます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$3$ を $\sin (x)$ の左に移動させます。

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

ステップ 3.3.1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) - 2 \sin (x) \sin (x))$

ステップ 3.3.2

指数を足して $\sin (x)$ に $\sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1

$\sin (x)$ を移動させます。

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 (\sin (x) \sin (x)))$

ステップ 3.3.2.2

$\sin (x)$ に $\sin (x)$ をかけます。

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x))$

ステップ 3.3.3

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

分配則を当てはめます。

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x)) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

ステップ 3.3.3.2

掛け算します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$3$ に $- 3$ をかけます。

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

ステップ 3.3.3.2.2

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x)$

ステップ 4

方程式を解きます。

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ステップ 4.1

$\sin (x)$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) = 3 - 7 \sin (x)$

ステップ 4.2

$\sin (x)$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $7 \sin (x)$ を足します。

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) = 3$

ステップ 4.2.2

$- 9 \sin (x)$ と $7 \sin (x)$ をたし算します。

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 3$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - 3 = 0$

ステップ 4.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.5

$a = 6$ 、 $b = - 2$ 、および $c = - 3$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $\sin (x)$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 3)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 4.6

簡約します。

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ステップ 4.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

ステップ 4.6.1.2

$- 4 \cdot 6 \cdot - 3$ を掛けます。

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ステップ 4.6.1.2.1

$- 4$ に $6$ をかけます。

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

ステップ 4.6.1.2.2

$- 24$ に $- 3$ をかけます。

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 72}}{2 \cdot 6}$

ステップ 4.6.1.3

$4$ と $72$ をたし算します。

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 6}$

ステップ 4.6.1.4

$76$ を $2^{2} \cdot 19$ に書き換えます。

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ステップ 4.6.1.4.1

$4$ を $76$ で因数分解します。

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 4.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 6}$

ステップ 4.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 6}$

ステップ 4.6.2

$2$ に $6$ をかけます。

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$

ステップ 4.6.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$ を簡約します。

$\sin (x) = \frac{1 \pm \sqrt{19}}{6}$

ステップ 4.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}, \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

ステップ 5

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

ステップ 6

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$ の値を求めます。

$x = 1.10430054$

ステップ 6.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

ステップ 6.4

$x$ について解きます。

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ステップ 6.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 - 1.10430054$

ステップ 6.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

ステップ 6.4.3

$3.14159265$ から $1.10430054$ を引きます。

$x = 2.0372921$

ステップ 6.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$ の値を求めます。

$x = - 0.59416431$

ステップ 7.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

ステップ 7.4

$x$ について解きます。

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ステップ 7.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 + 0.59416431$

ステップ 7.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

ステップ 7.4.3

$3.14159265$ と $0.59416431$ をたし算します。

$x = 3.73575697$

ステップ 7.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 7.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 7.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 7.6.1

$2 π$ を $- 0.59416431$ に足し、正の角を求めます。

$- 0.59416431 + 2 π$

ステップ 7.6.2

$2 π$ から $0.59416431$ を引きます。

$5.68902098$

ステップ 7.6.3

新しい角をリストします。

$x = 5.68902098$

ステップ 7.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

すべての解をまとめます。

$x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n, 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

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