微分積分学準備例

$9 (1 - \cos (x)) = \sin^{2} (x)$

ステップ 1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{9 (1 - \cos (x))}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2

$\cos (x)$ を分子の同値である式で置き換えます。

$9 (1 - \cos (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 3

分配則を当てはめます。

$(9 \cdot 1 + 9 (- \cos (x))) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 4

掛け算します。

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ステップ 4.1

$9$ に $1$ をかけます。

$(9 + 9 (- \cos (x))) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 4.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$(9 - 9 \cos (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 5

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$(9 - 9 \cos (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 6

項を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$9 (\frac{1}{\cos (x)}) - 9 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 6.2

$9$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 6.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1

$\cos (x)$ を $- 9 \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot (- 9 \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 6.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot (- 9 \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 6.3.3

式を書き換えます。

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7

各項を簡約します。

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ステップ 7.1

分数を分解します。

$\frac{9}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{9}{1} \cdot \sec (x) - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.3

$9$ を $1$ で割ります。

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 8

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 9

分数を分解します。

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 10

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x)}{1} \cdot \tan (x)$

ステップ 11

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$9 \sec (x) - 9 = \sin (x) \tan (x)$

ステップ 12

左辺を簡約します。

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ステップ 12.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$9 \frac{1}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \tan (x)$

ステップ 12.1.2

$9$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \tan (x)$

ステップ 13

右辺を簡約します。

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ステップ 13.1

$\sin (x) \tan (x)$ を簡約します。

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ステップ 13.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 13.1.2

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 13.1.2.1

$\sin (x)$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 13.1.2.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 13.1.2.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 13.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

ステップ 13.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 14

方程式の両辺に $\cos (x)$ を掛けます。

$\cos (x) (\frac{9}{\cos (x)} - 9) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 15

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 16

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.1

共通因数を約分します。

$\cos (x) \frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 16.2

式を書き換えます。

$9 + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 17

$- 9$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$9 - 9 \cdot \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 18

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.1

共通因数を約分します。

$9 - 9 \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 18.2

式を書き換えます。

$9 - 9 \cos (x) = \sin^{2} (x)$

ステップ 19

方程式の両辺から $\sin^{2} (x)$ を引きます。

$9 - 9 \cos (x) - \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 20

$\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ で置き換えます。

$9 - 9 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 21

$x$ について解きます。

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ステップ 21.1

$u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$9 - 9 u - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

ステップ 21.2

$9 - 9 u - (1 - u^{2})$ を簡約します。

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ステップ 21.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 21.2.1.1

分配則を当てはめます。

$9 - 9 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

ステップ 21.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$9 - 9 u - 1 - - u^{2} = 0$

ステップ 21.2.1.3

$- - u^{2}$ を掛けます。

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ステップ 21.2.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$9 - 9 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

ステップ 21.2.1.3.2

$u^{2}$ に $1$ をかけます。

$9 - 9 u - 1 + u^{2} = 0$

ステップ 21.2.2

$9$ から $1$ を引きます。

$- 9 u + 8 + u^{2} = 0$

ステップ 21.3

たすき掛けを利用して $- 9 u + 8 + u^{2}$ を因数分解します。

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ステップ 21.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $8$ で、その和が $- 9$ です。

$- 8, - 1$

ステップ 21.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 8) (u - 1) = 0$

ステップ 21.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 8 = 0$

$u - 1 = 0$

ステップ 21.5

$u - 8$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 21.5.1

$u - 8$ が $0$ に等しいとします。

$u - 8 = 0$

ステップ 21.5.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$u = 8$

ステップ 21.6

$u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 21.6.1

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 21.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 21.7

最終解は $(u - 8) (u - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 8, 1$

ステップ 21.8

$\cos (x)$ を $u$ に代入します。

$\cos (x) = 8, 1$

ステップ 21.9

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = 8$

$\cos (x) = 1$

ステップ 21.10

$\cos (x) = 8$ の $x$ について解きます。

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ステップ 21.10.1

余弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $8$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 21.11

$\cos (x) = 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 21.11.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (1)$

ステップ 21.11.2

右辺を簡約します。

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ステップ 21.11.2.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 21.11.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 21.11.4

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 21.11.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 21.11.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 21.11.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 21.11.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 21.11.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 21.11.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 21.12

すべての解をまとめます。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 21.13

答えをまとめます。

$x = 2 π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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