微分積分学準備例

$\sec (x) + \tan (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 2

方程式の両辺に $\cos (x)$ を掛けます。

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 3

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 4

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 5

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

共通因数を約分します。

$1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 5.2

式を書き換えます。

$1 + \sin (x) = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 6

$\cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$\cos (x)$ と $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ をまとめます。

$1 + \sin (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 6.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$1 + \sin (x) = \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 6.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$1 + \sin (x) = \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + \sin (x) = \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{1 - \sin (x)}$

ステップ 6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 + \sin (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 7

方程式の両辺から $\frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)}$ を引きます。

$1 + \sin (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8

$1 + \sin (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)}$ を簡約します。

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ステップ 8.1

$\sin (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ を掛けます。

$1 + \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{1 - \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8.2

公分母の分子をまとめます。

$1 + \frac{\sin (x) (1 - \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8.3

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

分配則を当てはめます。

$1 + \frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8.3.1.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$1 + \frac{\sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 + \frac{\sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8.3.1.4

$- \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 8.3.1.4.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8.3.1.4.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8.3.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + \frac{\sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8.3.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 + \frac{\sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8.3.1.5

$- 1$ を $- \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8.3.1.6

$- 1$ を $- \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8.3.1.7

$- 1$ を $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8.3.1.8

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$1 + \frac{\sin (x) - 1 \cdot 1}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8.3.1.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 + \frac{\sin (x) - 1}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8.3.2

$\sin (x) - 1$ と $1 - \sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.1

$- 1$ を $\sin (x)$ で因数分解します。

$1 + \frac{- 1 (- \sin (x)) - 1}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8.3.2.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$1 + \frac{- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8.3.2.3

$- 1$ を $- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)$ で因数分解します。

$1 + \frac{- 1 (- \sin (x) + 1)}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8.3.2.4

項を並べ替えます。

$1 + \frac{- 1 (1 - \sin (x))}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8.3.2.5

共通因数を約分します。

$1 + \frac{- 1 (1 - \sin (x))}{1 - \sin (x)} = 0$

ステップ 8.3.2.6

$- 1$ を $1$ で割ります。

$1 - 1 = 0$

ステップ 8.4

$1$ から $1$ を引きます。

$0 = 0$

ステップ 9

$0 = 0$ なので、方程式は $x$ の値について常に真になります。

すべての実数

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

すべての実数

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

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