微分積分学準備例

$\sin (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $- 2 \cos^{2} (x)$ を $- 2 (1 - \sin^{2} (x))$ で置き換えます。

$\sin (x) - 2 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\sin (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\sin (x) - 2 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\sin (x) - 2 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 3

多項式を並べ替えます。

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 = 0$

ステップ 4

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$2 {(u)}^{2} + u - 2 = 0$

ステップ 5

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6

$a = 2$ 、 $b = 1$ 、および $c = - 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ を掛けます。

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ステップ 7.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.1.2.2

$- 8$ に $- 2$ をかけます。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.1.3

$1$ と $16$ をたし算します。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{4}$

ステップ 8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

ステップ 9

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

ステップ 10

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

ステップ 11

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 11.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{17}}{4})$

ステップ 11.2

右辺を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{17}}{4})$ の値を求めます。

$x = 0.89590748$

ステップ 11.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$

ステップ 11.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 11.4.1

$2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265 - 2 π$

ステップ 11.4.2

$2.24568517$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$ と隣接します。

$x = 2.24568517$

ステップ 11.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 11.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 11.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 11.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 11.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 11.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.89590748 + 2 π n, 2.24568517 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 12.1

正弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $- \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 13

すべての解をまとめます。

$x = 0.89590748 + 2 π n, 2.24568517 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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