微分積分学準備例

$\tan (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$

ステップ 1

$\tan (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ の各項を $\tan (\frac{x}{2})$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$\tan (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ の各項を $\tan (\frac{x}{2})$ で割ります。

$\frac{\tan (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$\tan (\frac{x}{2})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\tan (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})}$

ステップ 1.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})}$

ステップ 1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1

正弦と余弦に関して $\tan (\frac{x}{2})$ を書き換えます。

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}}$

ステップ 1.3.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ で割ります。

$1 = \sin (\frac{x}{2}) \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

ステップ 1.3.3

$\sin (\frac{x}{2})$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{1} \cdot \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

ステップ 1.3.4

$\sin (\frac{x}{2})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.4.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{1} \cdot \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

ステップ 1.3.4.2

式を書き換えます。

$1 = \cos (\frac{x}{2})$

ステップ 2

方程式を $\cos (\frac{x}{2}) = 1$ として書き換えます。

$\cos (\frac{x}{2}) = 1$

ステップ 3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} = \arccos (1)$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{x}{2} = 0$

ステップ 5

分子を0に等しくします。

$x = 0$

ステップ 6

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} = 2 π - 0$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - 0)$

ステップ 7.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - 0)$

ステップ 7.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 (2 π - 0)$

ステップ 7.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$2 (2 π - 0)$ を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1.1

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 (2 π)$

ステップ 7.2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = 4 π$

ステップ 8

$\cos (\frac{x}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 8.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 8.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 9

$\cos (\frac{x}{2})$ 関数の周期が $4 π$ なので、両方向で $4 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 4 π n, 4 π + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

答えをまとめます。

$x = 4 π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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