微分積分学準備例

$2^{2 x} + 2^{x + 2} = 12$

ステップ 1

$2^{x + 2}$ を $2^{x} \cdot 2^{2}$ に書き換えます。

$2^{2 x} + 2^{x} \cdot 2^{2} = 12$

ステップ 2

$2^{2 x}$ を累乗法として書き換えます。

${(2^{x})}^{2} + 2^{x} \cdot 2^{2} = 12$

ステップ 3

$u$ を $2^{x}$ に代入します。

$u^{2} + u \cdot 2^{2} = 12$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ を $2$ 乗します。

$u^{2} + u \cdot 4 = 12$

ステップ 4.2

$4$ を $u$ の左に移動させます。

$u^{2} + 4 u = 12$

$u^{2} + 4 u = 12$

ステップ 5

$u$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$u^{2} + 4 u - 12 = 0$

ステップ 5.2

たすき掛けを利用して $u^{2} + 4 u - 12$ を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $4$ です。

$- 2, 6$

ステップ 5.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 2) (u + 6) = 0$

$(u - 2) (u + 6) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 2 = 0$

$u + 6 = 0$

ステップ 5.4

$u - 2$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 5.4.1

$u - 2$ が $0$ に等しいとします。

$u - 2 = 0$

ステップ 5.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$u = 2$

$u = 2$

ステップ 5.5

$u + 6$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 5.5.1

$u + 6$ が $0$ に等しいとします。

$u + 6 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$u = - 6$

$u = - 6$

ステップ 5.6

最終解は $(u - 2) (u + 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 2, - 6$

$u = 2, - 6$

ステップ 6

$2$ を $u = 2^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$2 = 2^{x}$

ステップ 7

$2 = 2^{x}$ を解きます。

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ステップ 7.1

方程式を $2^{x} = 2$ として書き換えます。

$2^{x} = 2$

ステップ 7.2

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$2^{x} = 2^{1}$

ステップ 7.3

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = 1$

$x = 1$

ステップ 8

$- 6$ を $u = 2^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$- 6 = 2^{x}$

ステップ 9

$- 6 = 2^{x}$ を解きます。

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ステップ 9.1

方程式を $2^{x} = - 6$ として書き換えます。

$2^{x} = - 6$

ステップ 9.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2^{x}) = \ln (- 6)$

ステップ 9.3

$\ln (- 6)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 9.4

$2^{x} = - 6$ の解はありません

解がありません

解がありません

ステップ 10

方程式が真になるような解をリストします。

$x = 1$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$