微分積分学準備例

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} = 3$

ステップ 1

両辺に $e^{x} - e^{- x}$ を掛けます。

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$e^{x} - e^{- x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

ステップ 2.1.1.2

式を書き換えます。

$e^{x} + e^{- x} = 3 (e^{x} - e^{- x})$

ステップ 2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$3 (e^{x} - e^{- x})$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} + 3 (- e^{- x})$

ステップ 2.2.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$e^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

ステップ 3.2

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$u + u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

ステップ 3.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

ステップ 3.4

$e^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

ステップ 3.5

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

ステップ 3.6

各項を簡約します。

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ステップ 3.6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

ステップ 3.6.2

$- 3$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$u + \frac{1}{u} = 3 u + \frac{- 3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

ステップ 3.6.3

分数の前に負数を移動させます。

$u + \frac{1}{u} = 3 u - \frac{3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

ステップ 3.7

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.7.1

方程式の両辺から $3 e^{x}$ を引きます。

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} = - 3 e^{- x}$

ステップ 3.7.2

方程式の両辺に $3 e^{- x}$ を足します。

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

ステップ 3.7.3

$e^{x}$ から $3 e^{x}$ を引きます。

$e^{- x} - 2 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

ステップ 3.7.4

$e^{- x}$ と $3 e^{- x}$ をたし算します。

$4 e^{- x} - 2 e^{x} = 0$

ステップ 3.8

両辺に $- 2 e^{x}$ を加えて方程式の右辺に移動させます。

$4 e^{- x} = 2 e^{x}$

ステップ 3.9

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (4 e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

ステップ 3.10

左辺を展開します。

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ステップ 3.10.1

$\ln (4 e^{- x})$ を $\ln (4) + \ln (e^{- x})$ に書き換えます。

$\ln (4) + \ln (e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

ステップ 3.10.2

$- x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- x})$ を展開します。

$\ln (4) - x \ln (e) = \ln (2 e^{x})$

ステップ 3.10.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (4) - x \cdot 1 = \ln (2 e^{x})$

ステップ 3.10.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (4) - x = \ln (2 e^{x})$

ステップ 3.11

右辺を展開します。

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ステップ 3.11.1

$\ln (2 e^{x})$ を $\ln (2) + \ln (e^{x})$ に書き換えます。

$\ln (4) - x = \ln (2) + \ln (e^{x})$

ステップ 3.11.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \ln (e)$

ステップ 3.11.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \cdot 1$

ステップ 3.11.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\ln (4) - x = \ln (2) + x$

ステップ 3.12

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (4) - \ln (2) = x + x$

ステップ 3.13

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{4}{2}) = x + x$

ステップ 3.14

$4$ を $2$ で割ります。

$\ln (2) = x + x$

ステップ 3.15

$x$ と $x$ をたし算します。

$\ln (2) = 2 x$

ステップ 3.16

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$2 x = \ln (2)$

ステップ 3.17

$2 x = \ln (2)$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.17.1

$2 x = \ln (2)$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

ステップ 3.17.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.17.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.17.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

ステップ 3.17.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

10進法形式：

$x = 0.34657359 \dots$

微分積分学準備 例

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