微分積分学準備例

{cos}^{2} (x) - 2.4 cos (x) - 0.81 = 0

$\cos^{2} (x) - 2.4 \cos (x) - 0.81 = 0$

ステップ 1

u

$u$ を

cos (x)

$\cos (x)$ に代入します。

{(u)}^{2} - 2.4 u - 0.81 = 0

${(u)}^{2} - 2.4 u - 0.81 = 0$

ステップ 2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3

a = 1

$a = 1$ 、

b = - 2.4

$b = - 2.4$ 、および

c = - 0.81

$c = - 0.81$ を二次方程式の解の公式に代入し、

u

$u$ の値を求めます。

\frac{2.4 \pm \sqrt{{(- 2.4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 0.81)}}{2 \cdot 1}

$\frac{2.4 \pm \sqrt{{(- 2.4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 0.81)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 2.4$ を

$2$ 乗します。

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{5.76 - 4 \cdot 1 \cdot - 0.81}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 0.81$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 4$ に

$1$ をかけます。

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{5.76 - 4 \cdot - 0.81}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2.2

$- 4$ に

$- 0.81$ をかけます。

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{5.76 + 3.24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.3

$5.76$ と

$3.24$ をたし算します。

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.4

$9$ を

$3^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{2.4 \pm 3}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2

$2$ に

$1$ をかけます。

$u = \frac{2.4 \pm 3}{2}$

ステップ 5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = 2.7, - 0.3$

ステップ 6

$\cos (x)$ を

$u$ に代入します。

$\cos (x) = 2.7, - 0.3$

ステップ 7

各解を求め、

$x$ を解きます。

$\cos (x) = 2.7$

$\cos (x) = - 0.3$

ステップ 8

$\cos (x) = 2.7$ の

$x$ について解きます。

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ステップ 8.1

余弦の値域は

$- 1 \leq y \leq 1$ です。

$2.7$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 9

$\cos (x) = - 0.3$ の

$x$ について解きます。

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ステップ 9.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から

$x$ を取り出します。

$x = \arccos (- 0.3)$

ステップ 9.2

右辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\arccos (- 0.3)$ の値を求めます。

$x = 1.87548898$

ステップ 9.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、

$2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 1.87548898$

ステップ 9.4

$x$ について解きます。

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ステップ 9.4.1

括弧を削除します。

$x = 2 (3.14159265) - 1.87548898$

ステップ 9.4.2

$2 (3.14159265) - 1.87548898$ を簡約します。

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ステップ 9.4.2.1

$2$ に

$3.14159265$ をかけます。

$x = 6.2831853 - 1.87548898$

ステップ 9.4.2.2

$6.2831853$ から

$1.87548898$ を引きます。

$x = 4.40769632$

ステップ 9.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 9.5.1

関数の期間は

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 9.5.2

周期の公式の

$b$ を

$1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 9.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 9.5.4

$2 π$ を

$1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 9.6

$\cos (x)$ 関数の周期が

$2 π$ なので、両方向で

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.87548898 + 2 π n, 4.40769632 + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = 1.87548898 + 2 π n, 4.40769632 + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 10

すべての解をまとめます。

$x = 1.87548898 + 2 π n, 4.40769632 + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

微分積分学準備 例

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