微分積分学準備例

$\log (t + 3) + \log (t) = 1$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log ((t + 3) t) = 1$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$\log (t \cdot t + 3 t) = 1$

ステップ 1.3

$t$ に $t$ をかけます。

$\log (t^{2} + 3 t) = 1$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log (t^{2} + 3 t) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$10^{1} = t^{2} + 3 t$

ステップ 3

$t$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $t^{2} + 3 t = 10^{1}$ として書き換えます。

$t^{2} + 3 t = 10$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$t^{2} + 3 t - 10 = 0$

ステップ 3.3

たすき掛けを利用して $t^{2} + 3 t - 10$ を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 10$ で、その和が $3$ です。

$- 2, 5$

ステップ 3.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(t - 2) (t + 5) = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$t - 2 = 0$

$t + 5 = 0$

ステップ 3.5

$t - 2$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$t - 2$ が $0$ に等しいとします。

$t - 2 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$t = 2$

ステップ 3.6

$t + 5$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$t + 5$ が $0$ に等しいとします。

$t + 5 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$t = - 5$

ステップ 3.7

最終解は $(t - 2) (t + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$t = 2, - 5$

ステップ 4

$\log (t + 3) + \log (t) = 1$ が真にならない解を除外します。

$t = 2$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例