微分積分学準備例

$\sin (2 t) = \sqrt{2} \cos (t)$

ステップ 1

方程式の両辺から $\sqrt{2} \cos (t)$ を引きます。

$\sin (2 t) - \sqrt{2} \cos (t) = 0$

ステップ 2

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$2 \sin (t) \cos (t) - \sqrt{2} \cos (t) = 0$

ステップ 3

$\cos (t)$ を $2 \sin (t) \cos (t) - \sqrt{2} \cos (t)$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$\cos (t)$ を $2 \sin (t) \cos (t)$ で因数分解します。

$\cos (t) (2 \sin (t)) - \sqrt{2} \cos (t) = 0$

ステップ 3.2

$\cos (t)$ を $- \sqrt{2} \cos (t)$ で因数分解します。

$\cos (t) (2 \sin (t)) + \cos (t) (- \sqrt{2}) = 0$

ステップ 3.3

$\cos (t)$ を $\cos (t) (2 \sin (t)) + \cos (t) (- \sqrt{2})$ で因数分解します。

$\cos (t) (2 \sin (t) - \sqrt{2}) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (t) = 0$

$2 \sin (t) - \sqrt{2} = 0$

ステップ 5

$\cos (t)$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\cos (t)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (t) = 0$

ステップ 5.2

$t$ について $\cos (t) = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $t$ を取り出します。

$t = \arccos (0)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$t = \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$t = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$t = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$t = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$t = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 5.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$t = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 5.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$t = \frac{3 π}{2}$

ステップ 5.2.5

$\cos (t)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.6

$\cos (t)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$2 \sin (t) - \sqrt{2}$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 6.1

$2 \sin (t) - \sqrt{2}$ が $0$ に等しいとします。

$2 \sin (t) - \sqrt{2} = 0$

ステップ 6.2

$t$ について $2 \sin (t) - \sqrt{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $\sqrt{2}$ を足します。

$2 \sin (t) = \sqrt{2}$

ステップ 6.2.2

$2 \sin (t) = \sqrt{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$2 \sin (t) = \sqrt{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$\sin (t)$ を $1$ で割ります。

$\sin (t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $t$ を取り出します。

$t = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 6.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$t = \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$t = π - \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.6

$π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.6.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$t = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.6.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$t = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$t = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 6.2.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.6.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$t = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 6.2.6.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$t = \frac{3 π}{4}$

ステップ 6.2.7

$\sin (t)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.8

$\sin (t)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$t = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $\cos (t) (2 \sin (t) - \sqrt{2}) = 0$ を真にするすべての値です。

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ と $\frac{π}{2} + π n$ を $\frac{π}{2} + 2 π n$ にまとめます。

$t = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

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