微分積分学準備例

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

ステップ 1

$\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $\csc^{2} (u)$ を $\cot^{2} (u) + 1$ で置き換えます。

$(\cot^{2} (u) + 1) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

ステップ 2

多項式を並べ替えます。

$\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1 = \cot^{2} (u)$

ステップ 3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$1$ を移動させます。

$\cot^{2} (u) + 1 - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

ステップ 3.1.2

項を並べ替えます。

$1 + \cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

ステップ 3.1.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

ステップ 3.1.4

項を簡約します。

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ステップ 3.1.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.4.1.1

正弦と余弦に関して $\csc (u)$ を書き換えます。

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

ステップ 3.1.4.1.2

積の法則を $\frac{1}{\sin (u)}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

ステップ 3.1.4.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

ステップ 3.1.4.1.4

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.4.1.4.1

括弧を付けます。

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\cos (u) \sec (u)) = \cot^{2} (u)$

ステップ 3.1.4.1.4.2

$\cos (u)$ と $\sec (u)$ を並べ替えます。

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\sec (u) \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

ステップ 3.1.4.1.4.3

正弦と余弦に関して $- \cos (u) \sec (u)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\frac{1}{\cos (u)} \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

ステップ 3.1.4.1.4.4

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 \cdot 1 = \cot^{2} (u)$

ステップ 3.1.4.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

ステップ 3.1.4.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.4.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

ステップ 3.1.4.2.2

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)}$ を ${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2}$ に書き換えます。

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - 1 = \cot^{2} (u)$

ステップ 3.1.4.2.3

$\frac{1}{\sin (u)}$ を $\csc (u)$ に変換します。

$\csc^{2} (u) - 1 = \cot^{2} (u)$

ステップ 3.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\cot^{2} (u) = \cot^{2} (u)$

ステップ 4

指数が等しいので、方程式の両辺の指数の底は等しくなければなりません。

$| \cot (u) | = | \cot (u) |$

ステップ 5

$u$ について解きます。

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ステップ 5.1

絶対値方程式を絶対値記号がない4つの方程式に書き換えます。

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

$- \cot (u) = \cot (u)$

$- \cot (u) = - \cot (u)$

ステップ 5.2

簡約した後、解くべき方程式は2つだけです。

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

ステップ 5.3

$u$ について $\cot (u) = \cot (u)$ を解きます。

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ステップ 5.3.1

2つの関数を等しくするために、それぞれの因数を等しくする必要があります。

$u = u$

ステップ 5.3.2

$u$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 5.3.2.1

方程式の両辺から $u$ を引きます。

$u - u = 0$

ステップ 5.3.2.2

$u$ から $u$ を引きます。

$0 = 0$

ステップ 5.3.3

$0 = 0$ なので、方程式は常に真になります。

すべての実数

ステップ 5.4

$u$ について $\cot (u) = - \cot (u)$ を解きます。

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ステップ 5.4.1

$\cot (u)$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 5.4.1.1

方程式の両辺に $\cot (u)$ を足します。

$\cot (u) + \cot (u) = 0$

ステップ 5.4.1.2

$\cot (u)$ と $\cot (u)$ をたし算します。

$2 \cot (u) = 0$

ステップ 5.4.2

$2 \cot (u) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$2 \cot (u) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 5.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 5.4.2.2.1.2

$\cot (u)$ を $1$ で割ります。

$\cot (u) = \frac{0}{2}$

ステップ 5.4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$\cot (u) = 0$

ステップ 5.4.3

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $u$ を取り出します。

$u = arccot (0)$

ステップ 5.4.4

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.4.1

$arccot (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$u = \frac{π}{2}$

ステップ 5.4.5

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$u = π + \frac{π}{2}$

ステップ 5.4.6

$π + \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.4.6.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$u = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 5.4.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.4.6.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$u = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 5.4.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$u = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

ステップ 5.4.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.6.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$u = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

ステップ 5.4.6.3.2

$2 π$ と $π$ をたし算します。

$u = \frac{3 π}{2}$

ステップ 5.4.7

$\cot (u)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.4.7.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.4.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 5.4.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 5.4.7.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 5.4.8

$\cot (u)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$u = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

答えをまとめます。

$u = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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