微分積分学準備例

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1} = \frac{1}{4}$

ステップ 1

各項を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1^{2}} = \frac{1}{4}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = v$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$2 (v - 1), (v + 1) (v - 1), 4$

ステップ 2.2

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 2.3

$2$ には、 $1$ と $2$ 以外に因数がないため。

$2$ は素数です

ステップ 2.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 2.5

$4$ には $2$ と $2$ の因数があります。

$2 \cdot 2$

ステップ 2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$4$

ステップ 2.7

$v - 1$ の因数は $v - 1$ そのものです。

$(v - 1) = v - 1$

$(v - 1)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.8

$v + 1$ の因数は $v + 1$ そのものです。

$(v + 1) = v + 1$

$(v + 1)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.9

$v - 1$ の因数は $v - 1$ そのものです。

$(v - 1) = v - 1$

$(v - 1)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.10

$v - 1, v + 1, v - 1$ の最小公倍数は、すべての因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$(v - 1) (v + 1)$

ステップ 2.11

ある数の最小公倍数 $LCM$ はその数が因数分解された最小の数です。

$4 (v - 1) (v + 1)$

ステップ 3

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$ の各項に $4 (v - 1) (v + 1)$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$ の各項に $4 (v - 1) (v + 1)$ を掛けます。

$\frac{1}{2 (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

ステップ 3.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 (2) \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

ステップ 3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

ステップ 3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$2 \frac{1}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

ステップ 3.2.1.3

$2$ と $\frac{1}{v - 1}$ をまとめます。

$\frac{2}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

ステップ 3.2.1.4

$v - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

ステップ 3.2.1.4.2

式を書き換えます。

$2 (v + 1) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

ステップ 3.2.1.5

分配則を当てはめます。

$2 v + 2 \cdot 1 + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

ステップ 3.2.1.6

$2$ に $1$ をかけます。

$2 v + 2 + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

ステップ 3.2.1.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 v + 2 + 4 \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

ステップ 3.2.1.8

$4 \frac{3}{(v + 1) (v - 1)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.8.1

$4$ と $\frac{3}{(v + 1) (v - 1)}$ をまとめます。

$2 v + 2 + \frac{4 \cdot 3}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

ステップ 3.2.1.8.2

$4$ に $3$ をかけます。

$2 v + 2 + \frac{12}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

ステップ 3.2.1.9

$(v - 1) (v + 1)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.9.1

$(v - 1) (v + 1)$ を $(v + 1) (v - 1)$ で因数分解します。

$2 v + 2 + \frac{12}{(v - 1) (v + 1) (1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

ステップ 3.2.1.9.2

共通因数を約分します。

$2 v + 2 + \frac{12}{(v - 1) (v + 1) \cdot 1} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

ステップ 3.2.1.9.3

式を書き換えます。

$2 v + 2 + 12 = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

ステップ 3.2.2

$2$ と $12$ をたし算します。

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$4$ を $4 (v - 1) (v + 1)$ で因数分解します。

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 ((v - 1) (v + 1)))$

ステップ 3.3.1.2

共通因数を約分します。

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 ((v - 1) (v + 1)))$

ステップ 3.3.1.3

式を書き換えます。

$2 v + 14 = (v - 1) (v + 1)$

ステップ 3.3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(v - 1) (v + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

分配則を当てはめます。

$2 v + 14 = v (v + 1) - 1 (v + 1)$

ステップ 3.3.2.2

分配則を当てはめます。

$2 v + 14 = v \cdot v + v \cdot 1 - 1 (v + 1)$

ステップ 3.3.2.3

分配則を当てはめます。

$2 v + 14 = v \cdot v + v \cdot 1 - 1 v - 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.3

項を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$v \cdot v + v \cdot 1 - 1 v - 1 \cdot 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

$v \cdot 1$ と $- 1 v$ について因数を並べ替えます。

$2 v + 14 = v \cdot v + 1 v - 1 v - 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.3.1.2

$1 v$ から $1 v$ を引きます。

$2 v + 14 = v \cdot v + 0 - 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.3.1.3

$v \cdot v$ と $0$ をたし算します。

$2 v + 14 = v \cdot v - 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

$v$ に $v$ をかけます。

$2 v + 14 = v^{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.3.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 v + 14 = v^{2} - 1$

ステップ 4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式の両辺から $v^{2}$ を引きます。

$2 v + 14 - v^{2} = - 1$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 v + 14 - v^{2} + 1 = 0$

ステップ 4.3

$14$ と $1$ をたし算します。

$2 v - v^{2} + 15 = 0$

ステップ 4.4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.4.1

$- 1$ を $2 v - v^{2} + 15$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.1.1

$2 v$ と $- v^{2}$ を並べ替えます。

$- v^{2} + 2 v + 15 = 0$

ステップ 4.4.1.2

$- 1$ を $- v^{2}$ で因数分解します。

$- (v^{2}) + 2 v + 15 = 0$

ステップ 4.4.1.3

$- 1$ を $2 v$ で因数分解します。

$- (v^{2}) - (- 2 v) + 15 = 0$

ステップ 4.4.1.4

$15$ を $- 1 (- 15)$ に書き換えます。

$- (v^{2}) - (- 2 v) - 1 \cdot - 15 = 0$

ステップ 4.4.1.5

$- 1$ を $- (v^{2}) - (- 2 v)$ で因数分解します。

$- (v^{2} - 2 v) - 1 \cdot - 15 = 0$

ステップ 4.4.1.6

$- 1$ を $- (v^{2} - 2 v) - 1 (- 15)$ で因数分解します。

$- (v^{2} - 2 v - 15) = 0$

ステップ 4.4.2

因数分解。

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ステップ 4.4.2.1

たすき掛けを利用して $v^{2} - 2 v - 15$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $- 2$ です。

$- 5, 3$

ステップ 4.4.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((v - 5) (v + 3)) = 0$

ステップ 4.4.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (v - 5) (v + 3) = 0$

ステップ 4.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$v - 5 = 0$

$v + 3 = 0$

ステップ 4.6

$v - 5$ を $0$ に等しくし、 $v$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$v - 5$ が $0$ に等しいとします。

$v - 5 = 0$

ステップ 4.6.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$v = 5$

ステップ 4.7

$v + 3$ を $0$ に等しくし、 $v$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

$v + 3$ が $0$ に等しいとします。

$v + 3 = 0$

ステップ 4.7.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$v = - 3$

ステップ 4.8

最終解は $- (v - 5) (v + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$v = 5, - 3$

微分積分学準備 例

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