微分積分学準備例

$(\tan (x) + \sqrt{3}) (\sec (x) - 2) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\tan (x) + \sqrt{3} = 0$

$\sec (x) - 2 = 0$

ステップ 2

$\tan (x) + \sqrt{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.1

$\tan (x) + \sqrt{3}$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) + \sqrt{3} = 0$

ステップ 2.2

$x$ について $\tan (x) + \sqrt{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

方程式の両辺から $\sqrt{3}$ を引きます。

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

ステップ 2.2.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ の厳密値は $- \frac{π}{3}$ です。

$x = - \frac{π}{3}$

ステップ 2.2.4

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{3} - π$

ステップ 2.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 2.2.5.1

$2 π$ に $- \frac{π}{3} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

ステップ 2.2.5.2

$\frac{2 π}{3}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{3} - π$ と隣接します。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 2.2.6

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.2.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 2.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 2.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 2.2.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.2.7

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 2.2.7.1

$π$ を $- \frac{π}{3}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{3} + π$

ステップ 2.2.7.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 2.2.7.3

分数をまとめます。

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ステップ 2.2.7.3.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 2.2.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 2.2.7.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.7.4.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

ステップ 2.2.7.4.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 2.2.7.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 2.2.8

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$\sec (x) - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\sec (x) - 2$ が $0$ に等しいとします。

$\sec (x) - 2 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $\sec (x) - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$\sec (x) = 2$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (2)$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$arcsec (2)$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 3.2.4

正割関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 3.2.5

$2 π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.5.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 3.2.5.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.5.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 3.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 3.2.5.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.5.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 3.2.5.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 3.2.6

$\sec (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.2.7

$\sec (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

最終解は $(\tan (x) + \sqrt{3}) (\sec (x) - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$\frac{5 π}{3} + 2 π n$ と $\frac{2 π}{3} + π n$ を $\frac{2 π}{3} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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