微分積分学準備例

$\frac{6^{\frac{3}{2}}}{{(\sqrt{2})}^{3}} = t^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

方程式を $t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}$ として書き換えます。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}$

ステップ 2

$t$ を含む項を不等式の左辺に移動させ、簡約します。

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ステップ 2.1

分母を簡約します。

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ステップ 2.1.1

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2^{3}}}$

ステップ 2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{8}}$

ステップ 2.1.3

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.3.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{4 (2)}}$

ステップ 2.1.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 2.2

$\frac{6^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{6^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 2.3.2

$\sqrt{2}$ を移動させます。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 2.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 2.3.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 2.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 2.3.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.3.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.3.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.7.4.1

共通因数を約分します。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.3.7.4.2

式を書き換えます。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.3.7.5

指数を求めます。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4}$

ステップ 3

方程式の両辺を $\frac{3}{2}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(\frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4

指数を簡約します。

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ステップ 4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1.1

${(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1.1

${(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$t^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$t^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$t^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.1.1.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$t^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.1.1.1.3.2

式を書き換えます。

$t^{1} = \pm {(\frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.1.1.2

簡約します。

$t = \pm {(\frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\pm {(\frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4})}^{\frac{3}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.2.1.1.1

積の法則を $\frac{6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{4}$ に当てはめます。

$t = \pm \frac{{(6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2})}^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.2.1.1.2

積の法則を $6^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}$ に当てはめます。

$t = \pm \frac{{(6^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.2.1.2

${(6^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$t = \pm \frac{6^{\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.2.1.2.2

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.2.2.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$t = \pm \frac{6^{\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 2}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.2.1.2.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$t = \pm \frac{6^{\frac{9}{2 \cdot 2}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.2.1.2.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$t = \pm \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.2.1.3

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$t = \pm \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$t = \pm \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 4.2.1.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.3.1

共通因数を約分します。

$t = \pm \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 4.2.1.3.3.2

式を書き換えます。

$t = \pm \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{2^{3}}$

ステップ 4.2.1.3.4

$2$ を $3$ 乗します。

$t = \pm \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{8}$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$t = \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{8}$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$t = - \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{8}$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$t = \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{8}, - \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{8}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$t = \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{8}, - \frac{6^{\frac{9}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{3}{2}}}{8}$

10進法形式：

$t = 11.84466611 \dots, - 11.84466611 \dots$

微分積分学準備 例

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