微分積分学準備例

$p = \frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}}$

ステップ 1

方程式を $\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$ として書き換えます。

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

${(r + R)}^{2}, 1$

ステップ 2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

${(r + R)}^{2}$

ステップ 3

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$ の各項に ${(r + R)}^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.1

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$ の各項に ${(r + R)}^{2}$ を掛けます。

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} {(r + R)}^{2} = p {(r + R)}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${(r + R)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} {(r + R)}^{2} = p {(r + R)}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

式を書き換えます。

$a^{2} R = p {(r + R)}^{2}$

ステップ 4

方程式を解きます。

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ステップ 4.1

$p {(r + R)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

${(r + R)}^{2}$ を $(r + R) (r + R)$ に書き換えます。

$a^{2} R = p ((r + R) (r + R))$

ステップ 4.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(r + R) (r + R)$ を展開します。

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ステップ 4.1.2.1

分配則を当てはめます。

$a^{2} R = p (r (r + R) + R (r + R))$

ステップ 4.1.2.2

分配則を当てはめます。

$a^{2} R = p (r \cdot r + r R + R (r + R))$

ステップ 4.1.2.3

分配則を当てはめます。

$a^{2} R = p (r \cdot r + r R + R r + R \cdot R)$

ステップ 4.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.3.1.1

$r$ に $r$ をかけます。

$a^{2} R = p (r^{2} + r R + R r + R \cdot R)$

ステップ 4.1.3.1.2

$R$ に $R$ をかけます。

$a^{2} R = p (r^{2} + r R + R r + R^{2})$

ステップ 4.1.3.2

$r R$ と $R r$ をたし算します。

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ステップ 4.1.3.2.1

$R$ と $r$ を並べ替えます。

$a^{2} R = p (r^{2} + r R + r R + R^{2})$

ステップ 4.1.3.2.2

$r R$ と $r R$ をたし算します。

$a^{2} R = p (r^{2} + 2 r R + R^{2})$

ステップ 4.1.4

分配則を当てはめます。

$a^{2} R = p r^{2} + p (2 r R) + p R^{2}$

ステップ 4.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$a^{2} R = p r^{2} + 2 p r R + p R^{2}$

ステップ 4.2

$R$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$p r^{2} + 2 p r R + p R^{2} = a^{2} R$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $a^{2} R$ を引きます。

$p r^{2} + 2 p r R + p R^{2} - a^{2} R = 0$

ステップ 4.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.5

$a = p$ 、 $b = 2 p r - a^{2}$ 、および $c = p r^{2}$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $R$ の値を求めます。

$\frac{- (2 p r - a^{2}) \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot (p \cdot (p r^{2}))}}{2 p}$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

分配則を当てはめます。

$R = \frac{- (2 p r) + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

ステップ 4.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$R = \frac{- 2 (p r) + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

ステップ 4.6.3

$- - a^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.6.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$R = \frac{- 2 (p r) + 1 a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

ステップ 4.6.3.2

$a^{2}$ に $1$ をかけます。

$R = \frac{- 2 (p r) + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

ステップ 4.6.4

$4 \cdot p \cdot (p r^{2})$ を ${(2 p r)}^{2}$ に書き換えます。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - {(2 p r)}^{2}}}{2 p}$

ステップ 4.6.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 p r - a^{2}$ であり、 $b = 2 p r$ です。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(2 p r - a^{2} + 2 p r) (2 p r - a^{2} - (2 p r))}}{2 p}$

ステップ 4.6.6

簡約します。

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ステップ 4.6.6.1

$2 p r$ と $2 p r$ をたし算します。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) (2 p r - a^{2} - (2 p r))}}{2 p}$

ステップ 4.6.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) (2 p r - a^{2} - 2 (p r))}}{2 p}$

ステップ 4.6.6.3

$2 p r$ から $2 p r$ を引きます。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) (- a^{2} + 0)}}{2 p}$

ステップ 4.6.6.4

$- a^{2}$ と $0$ をたし算します。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) \cdot (- 1 a^{2})}}{2 p}$

ステップ 4.6.6.5

負をくくり出します。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{- ((- a^{2} + 4 p r) a^{2})}}{2 p}$

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r) a^{2}}}{2 p}$

ステップ 4.6.7

$- (- a^{2} + 4 p r) a^{2}$ を $a^{2} \cdot (- (- a^{2} + 2^{2} p r))$ に書き換えます。

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ステップ 4.6.7.1

$- a^{2} + 4 p r$ を移動させます。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{- 1 a^{2} (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

ステップ 4.6.7.2

$- 1$ と $a^{2}$ を並べ替えます。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- 1 (- a^{2} + 4 p r))}}{2 p}$

ステップ 4.6.7.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- 1 (- a^{2} + 2^{2} p r))}}{2 p}$

ステップ 4.6.7.4

括弧を付けます。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- (- a^{2} + 2^{2} p r))}}{2 p}$

ステップ 4.6.8

累乗根の下から項を取り出します。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm a \sqrt{- (- a^{2} + 2^{2} p r)}}{2 p}$

ステップ 4.6.9

$2$ を $2$ 乗します。

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

ステップ 4.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$R = - \frac{2 p r - a^{2} - a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

$R = - \frac{2 p r - a^{2} + a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

$R = - \frac{2 p r - a^{2} - a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

$R = - \frac{2 p r - a^{2} + a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

微分積分学準備 例

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