微分積分学準備例

$4 e^{6 t} = 6 e^{5 t}$

ステップ 1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (4 e^{6 t}) = \ln (6 e^{5 t})$

ステップ 2

左辺を展開します。

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ステップ 2.1

$\ln (4 e^{6 t})$ を $\ln (4) + \ln (e^{6 t})$ に書き換えます。

$\ln (4) + \ln (e^{6 t}) = \ln (6 e^{5 t})$

ステップ 2.2

$6 t$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{6 t})$ を展開します。

$\ln (4) + 6 t \ln (e) = \ln (6 e^{5 t})$

ステップ 2.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (4) + 6 t \cdot 1 = \ln (6 e^{5 t})$

ステップ 2.4

$6$ に $1$ をかけます。

$\ln (4) + 6 t = \ln (6 e^{5 t})$

ステップ 3

右辺を展開します。

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ステップ 3.1

$\ln (6 e^{5 t})$ を $\ln (6) + \ln (e^{5 t})$ に書き換えます。

$\ln (4) + 6 t = \ln (6) + \ln (e^{5 t})$

ステップ 3.2

$5 t$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{5 t})$ を展開します。

$\ln (4) + 6 t = \ln (6) + 5 t \ln (e)$

ステップ 3.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (4) + 6 t = \ln (6) + 5 t \cdot 1$

ステップ 3.4

$5$ に $1$ をかけます。

$\ln (4) + 6 t = \ln (6) + 5 t$

ステップ 4

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (4) - \ln (6) = - 6 t + 5 t$

ステップ 5

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{4}{6}) = - 6 t + 5 t$

ステップ 6

$4$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\ln (\frac{2 (2)}{6}) = - 6 t + 5 t$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\ln (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}) = - 6 t + 5 t$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}) = - 6 t + 5 t$

ステップ 6.2.3

式を書き換えます。

$\ln (\frac{2}{3}) = - 6 t + 5 t$

ステップ 7

$- 6 t$ と $5 t$ をたし算します。

$\ln (\frac{2}{3}) = - t$

ステップ 8

$t$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$- t = \ln (\frac{2}{3})$

ステップ 9

$- t = \ln (\frac{2}{3})$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.1

$- t = \ln (\frac{2}{3})$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- t}{- 1} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{- 1}$

ステップ 9.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{t}{1} = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{- 1}$

ステップ 9.2.2

$t$ を $1$ で割ります。

$t = \frac{\ln (\frac{2}{3})}{- 1}$

ステップ 9.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.3.1

$\frac{\ln (\frac{2}{3})}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$t = - 1 \cdot \ln (\frac{2}{3})$

ステップ 9.3.2

$- 1 \cdot \ln (\frac{2}{3})$ を $- \ln (\frac{2}{3})$ に書き換えます。

$t = - \ln (\frac{2}{3})$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$t = - \ln (\frac{2}{3})$

10進法形式：

$t = 0.40546510 \dots$

微分積分学準備 例

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