微分積分学準備例

$f (- x) = \frac{4 x^{2} - 1}{x^{2}}$

ステップ 1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\frac{4 x^{2} - 1}{x^{2}} = f (- x)$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(2 x)}^{2} - 1}{x^{2}} = f (- x)$

ステップ 2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}{x^{2}} = f (- x)$

ステップ 2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}} = f (- x)$

ステップ 3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}} = - f x$

ステップ 4

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺に $f x$ を足します。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}} + f x = 0$

ステップ 4.2

$f x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}} + \frac{f x \cdot x^{2}}{x^{2}} = 0$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1) + f x \cdot x^{2}}{x^{2}} = 0$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

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ステップ 4.4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 1) (2 x - 1)$ を展開します。

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ステップ 4.4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1) + f x \cdot x^{2}}{x^{2}} = 0$

ステップ 4.4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1) + f x \cdot x^{2}}{x^{2}} = 0$

ステップ 4.4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + f x \cdot x^{2}}{x^{2}} = 0$

ステップ 4.4.2

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.4.2.1

$2 x \cdot - 1$ と $1 (2 x)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{2 x (2 x) - 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 + f x \cdot x^{2}}{x^{2}} = 0$

ステップ 4.4.2.2

$- 1 \cdot 2 x$ と $1 \cdot 2 x$ をたし算します。

$\frac{2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1 + f x \cdot x^{2}}{x^{2}} = 0$

ステップ 4.4.2.3

$2 x (2 x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x (2 x) + 1 \cdot - 1 + f x \cdot x^{2}}{x^{2}} = 0$

ステップ 4.4.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot - 1 + f x \cdot x^{2}}{x^{2}} = 0$

ステップ 4.4.3.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.4.3.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + 1 \cdot - 1 + f x \cdot x^{2}}{x^{2}} = 0$

ステップ 4.4.3.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + 1 \cdot - 1 + f x \cdot x^{2}}{x^{2}} = 0$

ステップ 4.4.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} + 1 \cdot - 1 + f x \cdot x^{2}}{x^{2}} = 0$

ステップ 4.4.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} - 1 + f x \cdot x^{2}}{x^{2}} = 0$

ステップ 4.4.4

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.4.4.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{4 x^{2} - 1 + f (x^{2} x)}{x^{2}} = 0$

ステップ 4.4.4.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 4.4.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 x^{2} - 1 + f (x^{2} x^{1})}{x^{2}} = 0$

ステップ 4.4.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x^{2} - 1 + f x^{2 + 1}}{x^{2}} = 0$

ステップ 4.4.4.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 x^{2} - 1 + f x^{3}}{x^{2}} = 0$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例