微分積分学準備例

$\tan (\frac{x}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{4} = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$\frac{x}{4} = \frac{π}{6}$

ステップ 3

方程式の両辺に $4$ を掛けます。

$4 \frac{x}{4} = 4 \frac{π}{6}$

ステップ 4

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{x}{4} = 4 \frac{π}{6}$

ステップ 4.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 4 \frac{π}{6}$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4 \frac{π}{6}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = 2 (2) \frac{π}{6}$

ステップ 4.2.1.1.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$x = 2 \cdot 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$x = 2 \cdot 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.2.1.1.4

式を書き換えます。

$x = 2 \frac{π}{3}$

ステップ 4.2.1.2

$2$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 5

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$\frac{x}{4} = π + \frac{π}{6}$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺に $4$ を掛けます。

$4 \frac{x}{4} = 4 (π + \frac{π}{6})$

ステップ 6.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{x}{4} = 4 (π + \frac{π}{6})$

ステップ 6.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 4 (π + \frac{π}{6})$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$4 (π + \frac{π}{6})$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = 4 (π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6})$

ステップ 6.2.2.1.2

項を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = 4 (\frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6})$

ステップ 6.2.2.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = 4 \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

ステップ 6.2.2.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.2.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = 2 (2) \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

ステップ 6.2.2.1.2.3.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$x = 2 \cdot 2 \frac{π \cdot 6 + π}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.2.2.1.2.3.3

共通因数を約分します。

$x = 2 \cdot 2 \frac{π \cdot 6 + π}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.2.2.1.2.3.4

式を書き換えます。

$x = 2 \frac{π \cdot 6 + π}{3}$

ステップ 6.2.2.1.2.4

$2$ と $\frac{π \cdot 6 + π}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 (π \cdot 6 + π)}{3}$

ステップ 6.2.2.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 (6 \cdot π + π)}{3}$

ステップ 6.2.2.1.3.2

$6 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{2 \cdot 7 π}{3}$

ステップ 6.2.2.1.3.3

$2$ に $7$ をかけます。

$x = \frac{14 π}{3}$

ステップ 7

$\tan (\frac{x}{4})$ の周期を求めます。

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ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{4}$ で置き換えます。

$\frac{π}{| \frac{1}{4} |}$

ステップ 7.3

$\frac{1}{4}$ は約 $0.25$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

ステップ 7.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$π \cdot 4$

ステップ 7.5

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$4 π$

ステップ 8

$\tan (\frac{x}{4})$ 関数の周期が $4 π$ なので、両方向で $4 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{3} + 4 π n, \frac{14 π}{3} + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

答えをまとめます。

$x = \frac{2 π}{3} + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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