微分積分学準備例

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = 2 \sqrt{2}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

積の法則を $2 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{4 \cdot 3 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$4$ に $3$ をかけます。

$\sqrt{12 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.3.2

積の法則を $2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{12 - (2^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

ステップ 5.3.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{12 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

ステップ 5.3.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{12 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

ステップ 5.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

ステップ 5.3.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 5.3.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 5.3.4.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{1})}$

ステップ 5.3.4.5

指数を求めます。

$\sqrt{12 - (4 \cdot 2)}$

ステップ 5.3.5

$- (4 \cdot 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{12 - 1 \cdot 8}$

ステップ 5.3.5.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\sqrt{12 - 8}$

ステップ 5.3.6

$12$ から $8$ を引きます。

$\sqrt{4}$

ステップ 5.3.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2^{2}}$

ステップ 5.3.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + 2 \sqrt{3})$

ステップ 6.3

簡約します。

$(0, 2 \sqrt{3})$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (2 \sqrt{3}))$

ステップ 6.6

簡約します。

$(0, - 2 \sqrt{3})$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{3})$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + 2)$

ステップ 7.3

簡約します。

$(0, 2)$

ステップ 7.4

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (2))$

ステップ 7.6

簡約します。

$(0, - 2)$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(0, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

積の法則を $2 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.3.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.4

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sqrt{12 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.5

積の法則を $2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{12 - (2^{2} {\sqrt{2}}^{2})}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{12 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{12 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{1})}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.7.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2)}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.8

$- (4 \cdot 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.8.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{12 - 1 \cdot 8}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.8.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{\sqrt{12 - 8}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.9

$12$ から $8$ を引きます。

$\frac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.10

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.1.11

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.3

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.3.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.4.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 8.3.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 8.3.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.3.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 8.3.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.3.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 8.3.4.6.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2)$

偏心： $\frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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