微分積分学準備例

$25^{x} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$25^{x}$ を ${(5^{2})}^{x}$ に書き換えます。

${(5^{2})}^{x} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

ステップ 1.2

${(5^{2})}^{x}$ を ${(5^{x})}^{2}$ に書き換えます。

${(5^{x})}^{2} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

ステップ 1.3

$u = 5^{x}$ とします。 $u$ を $5^{x}$ に代入します。

$u^{2} - 12 u + 11 = 0$

ステップ 1.4

たすき掛けを利用して $u^{2} - 12 u + 11$ を因数分解します。

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ステップ 1.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $11$ で、その和が $- 12$ です。

$- 11, - 1$

ステップ 1.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 11) (u - 1) = 0$

ステップ 1.5

$u$ のすべての発生を $5^{x}$ で置き換えます。

$(5^{x} - 11) (5^{x} - 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$5^{x} - 11 = 0$

$5^{x} - 1 = 0$

ステップ 3

$5^{x} - 11$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$5^{x} - 11$ が $0$ に等しいとします。

$5^{x} - 11 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $5^{x} - 11 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $11$ を足します。

$5^{x} = 11$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (5^{x}) = \ln (11)$

ステップ 3.2.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (5^{x})$ を展開します。

$x \ln (5) = \ln (11)$

ステップ 3.2.4

$x \ln (5) = \ln (11)$ の各項を $\ln (5)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$x \ln (5) = \ln (11)$ の各項を $\ln (5)$ で割ります。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

ステップ 3.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.4.2.1

$\ln (5)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

ステップ 3.2.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

ステップ 4

$5^{x} - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$5^{x} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$5^{x} - 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $5^{x} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$5^{x} = 1$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (5^{x}) = \ln (1)$

ステップ 4.2.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (5^{x})$ を展開します。

$x \ln (5) = \ln (1)$

ステップ 4.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$x \ln (5) = 0$

ステップ 4.2.5

$x \ln (5) = 0$ の各項を $\ln (5)$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$x \ln (5) = 0$ の各項を $\ln (5)$ で割ります。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{0}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.5.2.1

$\ln (5)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{0}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.5.3.1

$0$ を $\ln (5)$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 5

最終解は $(5^{x} - 11) (5^{x} - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}, 0$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}, 0$

10進法形式：

$x = 1.48989610 \dots, 0$

微分積分学準備 例

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