微分積分学準備例

$7 e^{x} = 6 - e^{- x}$

ステップ 1

方程式の両辺に $e^{- x}$ を足します。

$7 e^{x} + e^{- x} = 6$

ステップ 2

$e^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$7 e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 6$

ステップ 3

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$7 u + u^{- 1} = 6$

ステップ 4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$7 u + \frac{1}{u} = 6$

ステップ 5

$u$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, u, 1$

ステップ 5.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 5.2

$7 u + \frac{1}{u} = 6$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.2.1

$7 u + \frac{1}{u} = 6$ の各項に $u$ を掛けます。

$7 u \cdot u + \frac{1}{u} u = 6 u$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

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ステップ 5.2.2.1.1.1

$u$ を移動させます。

$7 (u \cdot u) + \frac{1}{u} u = 6 u$

ステップ 5.2.2.1.1.2

$u$ に $u$ をかけます。

$7 u^{2} + \frac{1}{u} u = 6 u$

ステップ 5.2.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$7 u^{2} + \frac{1}{u} u = 6 u$

ステップ 5.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$7 u^{2} + 1 = 6 u$

ステップ 5.3

方程式を解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $6 u$ を引きます。

$7 u^{2} + 1 - 6 u = 0$

ステップ 5.3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.3.3

$a = 7$ 、 $b = - 6$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 1)}}{2 \cdot 7}$

ステップ 5.3.4

簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.4.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

ステップ 5.3.4.1.2

$- 4 \cdot 7 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 5.3.4.1.2.1

$- 4$ に $7$ をかけます。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

ステップ 5.3.4.1.2.2

$- 28$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2 \cdot 7}$

ステップ 5.3.4.1.3

$36$ から $28$ を引きます。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 7}$

ステップ 5.3.4.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.4.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 7}$

ステップ 5.3.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 7}$

ステップ 5.3.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 7}$

ステップ 5.3.4.2

$2$ に $7$ をかけます。

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{14}$

ステップ 5.3.4.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{14}$ を簡約します。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{2}}{7}$

ステップ 5.3.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}, \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$

ステップ 6

$\frac{3 + \sqrt{2}}{7}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$\frac{3 + \sqrt{2}}{7} = e^{x}$

ステップ 7

$\frac{3 + \sqrt{2}}{7} = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 7.1

方程式を $e^{x} = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}$ として書き換えます。

$e^{x} = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}$

ステップ 7.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

ステップ 7.3

左辺を展開します。

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ステップ 7.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

ステップ 7.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

ステップ 7.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

ステップ 8

$\frac{3 - \sqrt{2}}{7}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$\frac{3 - \sqrt{2}}{7} = e^{x}$

ステップ 9

$\frac{3 - \sqrt{2}}{7} = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 9.1

方程式を $e^{x} = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$ として書き換えます。

$e^{x} = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$

ステップ 9.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

ステップ 9.3

左辺を展開します。

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ステップ 9.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

ステップ 9.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

ステップ 9.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

ステップ 10

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7}), \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7}), \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

10進法形式：

$x = - 0.46108045 \dots, - 1.48482968 \dots$

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