微分積分学準備例

$240 = x (x + 7) (18 - 2 x)$

ステップ 1

方程式を $x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$ として書き換えます。

$x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$

ステップ 2

$x (x + 7) (18 - 2 x)$ を簡約します。

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ステップ 2.1

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 2.1.1

分配則を当てはめます。

$(x \cdot x + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

ステップ 2.1.2

式を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$(x^{2} + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

ステップ 2.1.2.2

$7$ を $x$ の左に移動させます。

$(x^{2} + 7 \cdot x) (18 - 2 x) = 240$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 7 x) (18 - 2 x)$ を展開します。

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ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} (18 - 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$18$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$18 \cdot x^{2} + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

ステップ 2.3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$18 x^{2} - 2 x^{2} x + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

ステップ 2.3.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.3.1

$x$ を移動させます。

$18 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

ステップ 2.3.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 2.3.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$18 x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

ステップ 2.3.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$18 x^{2} - 2 x^{1 + 2} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

ステップ 2.3.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

ステップ 2.3.1.4

$18$ に $7$ をかけます。

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 x (- 2 x) = 240$

ステップ 2.3.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x \cdot x = 240$

ステップ 2.3.1.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.6.1

$x$ を移動させます。

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 (x \cdot x) = 240$

ステップ 2.3.1.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x^{2} = 240$

ステップ 2.3.1.7

$7$ に $- 2$ をかけます。

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 14 x^{2} = 240$

ステップ 2.3.2

$18 x^{2}$ から $14 x^{2}$ を引きます。

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x = 240$

ステップ 3

方程式の両辺から $240$ を引きます。

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

ステップ 4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.1

$2$ を $4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$2$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$2 (2 x^{2}) - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

ステップ 4.1.2

$2$ を $- 2 x^{3}$ で因数分解します。

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 126 x - 240 = 0$

ステップ 4.1.3

$2$ を $126 x$ で因数分解します。

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) - 240 = 0$

ステップ 4.1.4

$2$ を $- 240$ で因数分解します。

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

ステップ 4.1.5

$2$ を $2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3})$ で因数分解します。

$2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

ステップ 4.1.6

$2$ を $2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x)$ で因数分解します。

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120) = 0$

ステップ 4.1.7

$2$ を $2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120)$ で因数分解します。

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x - 120) = 0$

ステップ 4.2

項を並べ替えます。

$2 (- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120) = 0$

ステップ 4.3

因数分解。

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ステップ 4.3.1

有理根検定を用いて $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ を因数分解します。

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ステップ 4.3.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

$q = \pm 1$

ステップ 4.3.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

ステップ 4.3.1.3

$8$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $8$ は多項式の根です。

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ステップ 4.3.1.3.1

$8$ を多項式に代入します。

$- 8^{3} + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

ステップ 4.3.1.3.2

$8$ を $3$ 乗します。

$- 1 \cdot 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

ステップ 4.3.1.3.3

$- 1$ に $512$ をかけます。

$- 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

ステップ 4.3.1.3.4

$8$ を $2$ 乗します。

$- 512 + 2 \cdot 64 + 63 \cdot 8 - 120$

ステップ 4.3.1.3.5

$2$ に $64$ をかけます。

$- 512 + 128 + 63 \cdot 8 - 120$

ステップ 4.3.1.3.6

$- 512$ と $128$ をたし算します。

$- 384 + 63 \cdot 8 - 120$

ステップ 4.3.1.3.7

$63$ に $8$ をかけます。

$- 384 + 504 - 120$

ステップ 4.3.1.3.8

$- 384$ と $504$ をたし算します。

$120 - 120$

ステップ 4.3.1.3.9

$120$ から $120$ を引きます。

$0$

ステップ 4.3.1.4

$8$ は既知の根なので、多項式を $x - 8$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120}{x - 8}$

ステップ 4.3.1.5

$- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ を $x - 8$ で割ります。

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ステップ 4.3.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$8$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$63 x$

$120$

ステップ 4.3.1.5.2

被除数 $- x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$

ステップ 4.3.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$

ステップ 4.3.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{3} + 8 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$

ステップ 4.3.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

ステップ 4.3.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

ステップ 4.3.1.5.7

被除数 $- 6 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

ステップ 4.3.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$48 x$

ステップ 4.3.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 6 x^{2} + 48 x$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$

ステップ 4.3.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$

ステップ 4.3.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

ステップ 4.3.1.5.12

被除数 $15 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

ステップ 4.3.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							+	$15 x$	-	$120$

ステップ 4.3.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $15 x - 120$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$

ステップ 4.3.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$
										$0$

ステップ 4.3.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$- x^{2} - 6 x + 15$

ステップ 4.3.1.6

$- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ を因数の集合として書き換えます。

$2 ((x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15)) = 0$

ステップ 4.3.2

不要な括弧を削除します。

$2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 8 = 0$

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

ステップ 6

$x - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$x - 8 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 7

$- x^{2} - 6 x + 15$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$- x^{2} - 6 x + 15$ が $0$ に等しいとします。

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $- x^{2} - 6 x + 15 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.2.2

$a = - 1$ 、 $b = - 6$ 、および $c = 15$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 15)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.2.3

簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.2.3.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot 15$ を掛けます。

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ステップ 7.2.3.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.2.3.1.2.2

$4$ に $15$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.2.3.1.3

$36$ と $60$ をたし算します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.2.3.1.4

$96$ を $4^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

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ステップ 7.2.3.1.4.1

$16$ を $96$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.2.3.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.2.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$

ステップ 7.2.3.3

$\frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$ を簡約します。

$x = \frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$

ステップ 7.2.3.4

$\frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x = - 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$

ステップ 7.2.3.5

$- 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$ を $- (3 \pm 2 \sqrt{6})$ に書き換えます。

$x = - (3 \pm 2 \sqrt{6})$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

ステップ 8

最終解は $2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

10進法形式：

$x = 8, - 7.89897948 \dots, 1.89897948 \dots$

微分積分学準備 例

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