微分積分学準備例

$20 y^{- 2} - 20 y^{- 1} + 32 = 0$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$20 \frac{1}{y^{2}} - 20 y^{- 1} + 32 = 0$

ステップ 1.2

$20$ と $\frac{1}{y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{20}{y^{2}} - 20 y^{- 1} + 32 = 0$

ステップ 1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{20}{y^{2}} - 20 \frac{1}{y} + 32 = 0$

ステップ 1.4

$- 20$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$\frac{20}{y^{2}} + \frac{- 20}{y} + 32 = 0$

ステップ 1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{20}{y^{2}} - \frac{20}{y} + 32 = 0$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y^{2}, y, 1, 1$

ステップ 2.2

Since $y^{2}, y, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{2}, y^{1}$ .

ステップ 2.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 2.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 2.5

$1, 1, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1$

ステップ 2.6

$y^{2}$ の因数は $y \cdot y$ です。これは $y$ を $2$ 倍したものです。

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ は $2$ 回発生します。

ステップ 2.7

$y^{1}$ の因数は $y$ そのものです。

$y^{1} = y$

$y$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.8

$y^{2}, y^{1}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$y \cdot y$

ステップ 2.9

$y$ に $y$ をかけます。

$y^{2}$

ステップ 3

$\frac{20}{y^{2}} - \frac{20}{y} + 32 = 0$ の各項に $y^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.1

$\frac{20}{y^{2}} - \frac{20}{y} + 32 = 0$ の各項に $y^{2}$ を掛けます。

$\frac{20}{y^{2}} y^{2} - \frac{20}{y} y^{2} + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{20}{y^{2}} y^{2} - \frac{20}{y} y^{2} + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

式を書き換えます。

$20 - \frac{20}{y} y^{2} + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

ステップ 3.2.1.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.2.1

$- \frac{20}{y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$20 + \frac{- 20}{y} y^{2} + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

ステップ 3.2.1.2.2

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$20 + \frac{- 20}{y} (y \cdot y) + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

ステップ 3.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$20 + \frac{- 20}{y} (y \cdot y) + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

ステップ 3.2.1.2.4

式を書き換えます。

$20 - 20 y + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$0$ に $y^{2}$ をかけます。

$20 - 20 y + 32 y^{2} = 0$

ステップ 4

方程式を解きます。

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ステップ 4.1

$4$ を $20 - 20 y + 32 y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$4 (5) - 20 y + 32 y^{2} = 0$

ステップ 4.1.2

$4$ を $- 20 y$ で因数分解します。

$4 (5) + 4 (- 5 y) + 32 y^{2} = 0$

ステップ 4.1.3

$4$ を $32 y^{2}$ で因数分解します。

$4 (5) + 4 (- 5 y) + 4 (8 y^{2}) = 0$

ステップ 4.1.4

$4$ を $4 (5) + 4 (- 5 y)$ で因数分解します。

$4 (5 - 5 y) + 4 (8 y^{2}) = 0$

ステップ 4.1.5

$4$ を $4 (5 - 5 y) + 4 (8 y^{2})$ で因数分解します。

$4 (5 - 5 y + 8 y^{2}) = 0$

ステップ 4.2

$4 (5 - 5 y + 8 y^{2}) = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4 (5 - 5 y + 8 y^{2}) = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 (5 - 5 y + 8 y^{2})}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (5 - 5 y + 8 y^{2})}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 4.2.2.1.2

$5 - 5 y + 8 y^{2}$ を $1$ で割ります。

$5 - 5 y + 8 y^{2} = \frac{0}{4}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$5 - 5 y + 8 y^{2} = 0$

ステップ 4.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.4

$a = 8$ 、 $b = - 5$ 、および $c = 5$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 5)}}{2 \cdot 8}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 8 \cdot 5}}{2 \cdot 8}$

ステップ 4.5.1.2

$- 4 \cdot 8 \cdot 5$ を掛けます。

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ステップ 4.5.1.2.1

$- 4$ に $8$ をかけます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32 \cdot 5}}{2 \cdot 8}$

ステップ 4.5.1.2.2

$- 32$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 160}}{2 \cdot 8}$

ステップ 4.5.1.3

$25$ から $160$ を引きます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{- 135}}{2 \cdot 8}$

ステップ 4.5.1.4

$- 135$ を $- 1 (135)$ に書き換えます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 135}}{2 \cdot 8}$

ステップ 4.5.1.5

$\sqrt{- 1 (135)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{135}$ に書き換えます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{135}}{2 \cdot 8}$

ステップ 4.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$y = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{135}}{2 \cdot 8}$

ステップ 4.5.1.7

$135$ を $3^{2} \cdot 15$ に書き換えます。

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ステップ 4.5.1.7.1

$9$ を $135$ で因数分解します。

$y = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{9 (15)}}{2 \cdot 8}$

ステップ 4.5.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

ステップ 4.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{5 \pm i \cdot (3 \sqrt{15})}{2 \cdot 8}$

ステップ 4.5.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$y = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{15}}{2 \cdot 8}$

ステップ 4.5.2

$2$ に $8$ をかけます。

$y = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{15}}{16}$

ステップ 4.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{5 + 3 i \sqrt{15}}{16}, \frac{5 - 3 i \sqrt{15}}{16}$

微分積分学準備 例

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