微分積分学準備例

$\cos (2 y) = \frac{1 - \tan^{2} (y)}{1 + \tan^{2} (y)}$

ステップ 1

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1

$\frac{1 - \tan^{2} (y)}{1 + \tan^{2} (y)}$ を簡約します。

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ステップ 1.1.1

項を並べ替えます。

$\cos (2 y) = \frac{1 - \tan^{2} (y)}{\tan^{2} (y) + 1}$

ステップ 1.1.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\cos (2 y) = \frac{1 - \tan^{2} (y)}{\sec^{2} (y)}$

ステップ 1.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\cos (2 y) = \frac{1^{2} - \tan^{2} (y)}{\sec^{2} (y)}$

ステップ 1.1.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \tan (y)$ です。

$\cos (2 y) = \frac{(1 + \tan (y)) (1 - \tan (y))}{\sec^{2} (y)}$

ステップ 2

$y$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\frac{(1 + \tan (y)) (1 - \tan (y))}{\sec^{2} (y)} = \cos (2 y)$

ステップ 3

$y$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $\cos (2 y)$ を引きます。

$\frac{(1 + \tan (y)) (1 - \tan (y))}{\sec^{2} (y)} - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (y)$ を書き換えます。

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \tan (y))}{\sec^{2} (y)} - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.1.2

正弦と余弦に関して $\tan (y)$ を書き換えます。

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\sec^{2} (y)} - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

正弦と余弦に関して $\sec (y)$ を書き換えます。

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{{(\frac{1}{\cos (y)})}^{2}} - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.2.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (y)}$ に当てはめます。

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)}} - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\frac{1}{\cos^{2} (y)}} - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.4

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})$ を展開します。

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ステップ 3.2.4.1

分配則を当てはめます。

$(1 (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.4.2

分配則を当てはめます。

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.4.3

分配則を当てはめます。

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot 1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.5.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$(1 + 1 (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot 1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.5.1.2

$- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ に $1$ をかけます。

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot 1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.5.1.3

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ に $1$ をかけます。

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.5.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.5.1.5

$- \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.5.1.5.1

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ に $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ をかけます。

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin (y) \sin (y)}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.5.1.5.2

$\sin (y)$ を $1$ 乗します。

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{1} (y) \sin (y)}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.5.1.5.3

$\sin (y)$ を $1$ 乗します。

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{1} (y) \sin^{1} (y)}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.5.1.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{{\sin (y)}^{1 + 1}}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.5.1.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.5.1.5.6

$\cos (y)$ を $1$ 乗します。

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{1} (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.5.1.5.7

$\cos (y)$ を $1$ 乗します。

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{1} (y) \cos^{1} (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.5.1.5.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{{\cos (y)}^{1 + 1}}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.5.1.5.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.5.2

$- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ と $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ をたし算します。

$(1 + 0 - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.5.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$(1 - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.6

分配則を当てはめます。

$1 \cos^{2} (y) - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)} \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.7

$\cos^{2} (y)$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (y) - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)} \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.8

$\cos^{2} (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.8.1

$- \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\cos^{2} (y) + \frac{- \sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)} \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.8.2

共通因数を約分します。

$\cos^{2} (y) + \frac{- \sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)} \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.8.3

式を書き換えます。

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.2.9

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$\cos (2 y) - \cos (2 y) = 0$

ステップ 3.3

$\cos (2 y)$ から $\cos (2 y)$ を引きます。

$0 = 0$

ステップ 4

$0 = 0$ なので、方程式は $y$ の値について常に真になります。

すべての実数

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

すべての実数

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

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