微分積分学準備例

$x = \frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}}$

ステップ 1

方程式を $\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$ として書き換えます。

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$

ステップ 2

両辺に $1 + 2 e^{y}$ を掛けます。

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$1 + 2 e^{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

ステップ 3.1.1.2

式を書き換えます。

$e^{y} = x (1 + 2 e^{y})$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$x (1 + 2 e^{y})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$e^{y} = x \cdot 1 + x (2 e^{y})$

ステップ 3.2.1.2

式を簡約します。

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ステップ 3.2.1.2.1

$x$ に $1$ をかけます。

$e^{y} = x + x (2 e^{y})$

ステップ 3.2.1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{y} = x + 2 x e^{y}$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $2 x e^{y}$ を引きます。

$e^{y} - 2 x e^{y} = x$

ステップ 4.2

$e^{y}$ を $e^{y} - 2 x e^{y}$ で因数分解します。

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ステップ 4.2.1

$1$ を掛けます。

$e^{y} \cdot 1 - 2 x e^{y} = x$

ステップ 4.2.2

$e^{y}$ を $- 2 x e^{y}$ で因数分解します。

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x) = x$

ステップ 4.2.3

$e^{y}$ を $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x)$ で因数分解します。

$e^{y} (1 - 2 x) = x$

ステップ 4.3

$e^{y} (1 - 2 x) = x$ の各項を $1 - 2 x$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.3.1

$e^{y} (1 - 2 x) = x$ の各項を $1 - 2 x$ で割ります。

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

ステップ 4.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$1 - 2 x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

ステップ 4.3.2.1.2

$e^{y}$ を $1$ で割ります。

$e^{y} = \frac{x}{1 - 2 x}$

ステップ 4.4

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

ステップ 4.5

左辺を展開します。

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ステップ 4.5.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

ステップ 4.5.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

ステップ 4.5.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

微分積分学準備 例

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