微分積分学準備例

$z^{3} = - 343$

ステップ 1

方程式の両辺に $343$ を足します。

$z^{3} + 343 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$343$ を $7^{3}$ に書き換えます。

$z^{3} + 7^{3} = 0$

ステップ 2.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = z$ であり、 $b = 7$ です。

$(z + 7) (z^{2} - z \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$7$ に $- 1$ をかけます。

$(z + 7) (z^{2} - 7 z + 7^{2}) = 0$

ステップ 2.3.2

$7$ を $2$ 乗します。

$(z + 7) (z^{2} - 7 z + 49) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$z + 7 = 0$

$z^{2} - 7 z + 49 = 0$

ステップ 4

$z + 7$ を $0$ に等しくし、 $z$ を解きます。

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ステップ 4.1

$z + 7$ が $0$ に等しいとします。

$z + 7 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$z = - 7$

ステップ 5

$z^{2} - 7 z + 49$ を $0$ に等しくし、 $z$ を解きます。

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ステップ 5.1

$z^{2} - 7 z + 49$ が $0$ に等しいとします。

$z^{2} - 7 z + 49 = 0$

ステップ 5.2

$z$ について $z^{2} - 7 z + 49 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 7$ 、および $c = 49$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $z$ の値を求めます。

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 49)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3

簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$z = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 49$ を掛けます。

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ステップ 5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$z = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $49$ をかけます。

$z = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 196}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.3

$49$ から $196$ を引きます。

$z = \frac{7 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.4

$- 147$ を $- 1 (147)$ に書き換えます。

$z = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (147)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ に書き換えます。

$z = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$z = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.7

$147$ を $7^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.3.1.7.1

$49$ を $147$ で因数分解します。

$z = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.7.2

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$z = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$z = \frac{7 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.9

$7$ を $i$ の左に移動させます。

$z = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$z = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$z = \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6

最終解は $(z + 7) (z^{2} - 7 z + 49) = 0$ を真にするすべての値です。

$z = - 7, \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

微分積分学準備 例

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