微分積分学準備例

$\frac{10}{r - 5} + \frac{10}{r + 5} = 3$

ステップ 1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$r - 5, r + 5, 1$

ステップ 1.2

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 1.3

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 1.4

$1, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1$

ステップ 1.5

$r - 5$ の因数は $r - 5$ そのものです。

$(r - 5) = r - 5$

$(r - 5)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 1.6

$r + 5$ の因数は $r + 5$ そのものです。

$(r + 5) = r + 5$

$(r + 5)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 1.7

$r - 5, r + 5$ の最小公倍数は、すべての因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$(r - 5) (r + 5)$

ステップ 2

$\frac{10}{r - 5} + \frac{10}{r + 5} = 3$ の各項に $(r - 5) (r + 5)$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.1

$\frac{10}{r - 5} + \frac{10}{r + 5} = 3$ の各項に $(r - 5) (r + 5)$ を掛けます。

$\frac{10}{r - 5} ((r - 5) (r + 5)) + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$r - 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{10}{r - 5} ((r - 5) (r + 5)) + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

ステップ 2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$10 (r + 5) + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

ステップ 2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$10 r + 10 \cdot 5 + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

ステップ 2.2.1.3

$10$ に $5$ をかけます。

$10 r + 50 + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

ステップ 2.2.1.4

$r + 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.4.1

$r + 5$ を $(r - 5) (r + 5)$ で因数分解します。

$10 r + 50 + \frac{10}{r + 5} ((r + 5) (r - 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

ステップ 2.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$10 r + 50 + \frac{10}{r + 5} ((r + 5) (r - 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

ステップ 2.2.1.4.3

式を書き換えます。

$10 r + 50 + 10 (r - 5) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

ステップ 2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$10 r + 50 + 10 r + 10 \cdot - 5 = 3 ((r - 5) (r + 5))$

ステップ 2.2.1.6

$10$ に $- 5$ をかけます。

$10 r + 50 + 10 r - 50 = 3 ((r - 5) (r + 5))$

ステップ 2.2.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$10 r + 50 + 10 r - 50$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.2.2.1.1

$50$ から $50$ を引きます。

$10 r + 10 r + 0 = 3 ((r - 5) (r + 5))$

ステップ 2.2.2.1.2

$10 r + 10 r$ と $0$ をたし算します。

$10 r + 10 r = 3 ((r - 5) (r + 5))$

ステップ 2.2.2.2

$10 r$ と $10 r$ をたし算します。

$20 r = 3 ((r - 5) (r + 5))$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(r - 5) (r + 5)$ を展開します。

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ステップ 2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$20 r = 3 (r (r + 5) - 5 (r + 5))$

ステップ 2.3.1.2

分配則を当てはめます。

$20 r = 3 (r \cdot r + r \cdot 5 - 5 (r + 5))$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$20 r = 3 (r \cdot r + r \cdot 5 - 5 r - 5 \cdot 5)$

ステップ 2.3.2

項を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$r \cdot r + r \cdot 5 - 5 r - 5 \cdot 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$r \cdot 5$ と $- 5 r$ について因数を並べ替えます。

$20 r = 3 (r \cdot r + 5 r - 5 r - 5 \cdot 5)$

ステップ 2.3.2.1.2

$5 r$ から $5 r$ を引きます。

$20 r = 3 (r \cdot r + 0 - 5 \cdot 5)$

ステップ 2.3.2.1.3

$r \cdot r$ と $0$ をたし算します。

$20 r = 3 (r \cdot r - 5 \cdot 5)$

ステップ 2.3.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$r$ に $r$ をかけます。

$20 r = 3 (r^{2} - 5 \cdot 5)$

ステップ 2.3.2.2.2

$- 5$ に $5$ をかけます。

$20 r = 3 (r^{2} - 25)$

ステップ 2.3.2.3

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 2.3.2.3.1

分配則を当てはめます。

$20 r = 3 r^{2} + 3 \cdot - 25$

ステップ 2.3.2.3.2

$3$ に $- 25$ をかけます。

$20 r = 3 r^{2} - 75$

ステップ 3

方程式を解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $3 r^{2}$ を引きます。

$20 r - 3 r^{2} = - 75$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $75$ を足します。

$20 r - 3 r^{2} + 75 = 0$

ステップ 3.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4

$a = - 3$ 、 $b = 20$ 、および $c = 75$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $r$ の値を求めます。

$\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 75)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

$20$ を $2$ 乗します。

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 3 \cdot 75}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.5.1.2

$- 4 \cdot - 3 \cdot 75$ を掛けます。

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ステップ 3.5.1.2.1

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 12 \cdot 75}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.5.1.2.2

$12$ に $75$ をかけます。

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 900}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.5.1.3

$400$ と $900$ をたし算します。

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{1300}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.5.1.4

$1300$ を $10^{2} \cdot 13$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.1.4.1

$100$ を $1300$ で因数分解します。

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{100 (13)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.5.1.4.2

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$r = \frac{- 20 \pm 10 \sqrt{13}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$r = \frac{- 20 \pm 10 \sqrt{13}}{- 6}$

ステップ 3.5.3

$\frac{- 20 \pm 10 \sqrt{13}}{- 6}$ を簡約します。

$r = \frac{10 \pm 5 \sqrt{13}}{3}$

ステップ 3.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$r = \frac{10 + 5 \sqrt{13}}{3}, \frac{10 - 5 \sqrt{13}}{3}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$r = \frac{10 + 5 \sqrt{13}}{3}, \frac{10 - 5 \sqrt{13}}{3}$

10進法形式：

$r = 9.34258545 \dots, - 2.67591879 \dots$

微分積分学準備 例

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