微分積分学準備例

$\csc^{2} (x) = \frac{4}{3}$

ステップ 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

ステップ 2

$\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{\frac{4}{3}}$ を $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.2

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\csc (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.3

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\csc (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.4.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 2.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 2.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 2.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 2.4.6.5

指数を求めます。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 4

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 5

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から $x$ を取り出します。

$x = arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 5.3

余割関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{3}$

ステップ 5.4

$π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 5.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.4.2.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 5.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 5.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

ステップ 5.4.3.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.5

$\csc (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.6

$\csc (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から $x$ を取り出します。

$x = arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ の厳密値は $- \frac{π}{3}$ です。

$x = - \frac{π}{3}$

ステップ 6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

ステップ 6.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 6.4.1

$2 π + \frac{π}{3} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

ステップ 6.4.2

$\frac{4 π}{3}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{3} + π$ と隣接します。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 6.5

$\csc (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 6.6.1

$2 π$ を $- \frac{π}{3}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{3} + 2 π$

ステップ 6.6.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 6.6.3

分数をまとめます。

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ステップ 6.6.3.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 6.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 6.6.4

分子を簡約します。

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ステップ 6.6.4.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 π - π}{3}$

ステップ 6.6.4.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{5 π}{3}$

ステップ 6.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 6.7

$\csc (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

解をまとめます。

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ステップ 8.1

$\frac{4 π}{3} + 2 π n$ と $\frac{π}{3} + π n$ を $\frac{π}{3} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8.2

$\frac{5 π}{3} + 2 π n$ と $\frac{2 π}{3} + π n$ を $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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