微分積分学準備例

$\ln (x) + \ln (x + 2) = \ln (15)$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (x (x + 2)) = \ln (15)$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2) = \ln (15)$

ステップ 1.3

式を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (x^{2} + x \cdot 2) = \ln (15)$

ステップ 1.3.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\ln (x^{2} + 2 x) = \ln (15)$

ステップ 2

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$x^{2} + 2 x = 15$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $15$ を引きます。

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

ステップ 3.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $2$ です。

$- 3, 5$

ステップ 3.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) (x + 5) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 3.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 3.5

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 3.6

最終解は $(x - 3) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 5$

ステップ 4

$\ln (x) + \ln (x + 2) = \ln (15)$ が真にならない解を除外します。

$x = 3$

微分積分学準備 例

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