微分積分学準備例

$\sec (3 x) \cos (2 x) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sec (3 x) = 0$

$\cos (2 x) = 0$

ステップ 2

$\sec (3 x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.1

$\sec (3 x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sec (3 x) = 0$

ステップ 2.2

割線の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $0$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

$\cos (2 x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\cos (2 x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (2 x) = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $\cos (2 x) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arccos (0)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$2 x = \frac{π}{2}$

ステップ 3.2.3

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 3.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 3.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 3.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.3.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.3.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.2.3.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 3.2.4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 3.2.5

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.5.1

簡約します。

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ステップ 3.2.5.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.2.5.1.2

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.2.5.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 3.2.5.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 3.2.5.1.5

$4 π$ から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 3.2.5.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.5.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 3.2.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 3.2.5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 3.2.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.5.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.5.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.5.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.2.5.2.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 3.2.6

$\cos (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2.6.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 3.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 3.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 3.2.6.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.2.7

$\cos (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

最終解は $\sec (3 x) \cos (2 x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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