微分積分学準備例

$\log (x - 2) + \log (3 x + 3) = 1$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log ((x - 2) (3 x + 3)) = 1$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (3 x + 3)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\log (x (3 x + 3) - 2 (3 x + 3)) = 1$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\log (x (3 x) + x \cdot 3 - 2 (3 x + 3)) = 1$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\log (x (3 x) + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\log (3 x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

ステップ 1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\log (3 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

ステップ 1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\log (3 x^{2} + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

ステップ 1.3.1.3

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\log (3 x^{2} + 3 \cdot x - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

ステップ 1.3.1.4

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\log (3 x^{2} + 3 x - 6 x - 2 \cdot 3) = 1$

ステップ 1.3.1.5

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\log (3 x^{2} + 3 x - 6 x - 6) = 1$

ステップ 1.3.2

$3 x$ から $6 x$ を引きます。

$\log (3 x^{2} - 3 x - 6) = 1$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log (3 x^{2} - 3 x - 6) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$10^{1} = 3 x^{2} - 3 x - 6$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $3 x^{2} - 3 x - 6 = 10^{1}$ として書き換えます。

$3 x^{2} - 3 x - 6 = 10$

ステップ 3.2

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$3 x^{2} - 3 x - 6 - 10 = 0$

ステップ 3.2.2

$- 6$ から $10$ を引きます。

$3 x^{2} - 3 x - 16 = 0$

ステップ 3.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4

$a = 3$ 、 $b = - 3$ 、および $c = - 16$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 16)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot - 16}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 16$ を掛けます。

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ステップ 3.5.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot - 16}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.2.2

$- 12$ に $- 16$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 192}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.3

$9$ と $192$ をたし算します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{201}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{201}}{6}$

ステップ 3.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}, \frac{3 - \sqrt{201}}{6}$

ステップ 4

$\log (x - 2) + \log (3 x + 3) = 1$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}$

10進法形式：

$x = 2.86290781 \dots$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例