微分積分学準備例

$\log (x - 6) - \log (8 x - 40) = \log (\frac{1}{x})$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log (\frac{x - 6}{8 x - 40}) = \log (\frac{1}{x})$

ステップ 1.2

$8$ を $8 x - 40$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$\log (\frac{x - 6}{8 (x) - 40}) = \log (\frac{1}{x})$

ステップ 1.2.2

$8$ を $- 40$ で因数分解します。

$\log (\frac{x - 6}{8 x + 8 \cdot - 5}) = \log (\frac{1}{x})$

ステップ 1.2.3

$8$ を $8 x + 8 \cdot - 5$ で因数分解します。

$\log (\frac{x - 6}{8 (x - 5)}) = \log (\frac{1}{x})$

ステップ 2

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$\frac{x - 6}{8 (x - 5)} = \frac{1}{x}$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

1番目の分数の分子に2番目の分数の分母を掛けます。これを1番目の分数の分母と2番目の分数の分子の積に等しくします。

$(x - 6) x = 8 (x - 5) \cdot 1$

ステップ 3.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.2.1

$(x - 6) x$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + (x - 6) x = 8 (x - 5) \cdot 1$

ステップ 3.2.1.2

0を加えて簡約します。

$(x - 6) x = 8 (x - 5) \cdot 1$

ステップ 3.2.1.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x - 6 x = 8 (x - 5) \cdot 1$

ステップ 3.2.1.4

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} - 6 x = 8 (x - 5) \cdot 1$

ステップ 3.2.2

$8 (x - 5) \cdot 1$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 6 x = (8 x + 8 \cdot - 5) \cdot 1$

ステップ 3.2.2.2

掛け算します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$8$ に $- 5$ をかけます。

$x^{2} - 6 x = (8 x - 40) \cdot 1$

ステップ 3.2.2.2.2

$8 x - 40$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 6 x = 8 x - 40$

ステップ 3.2.3

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.2.3.1

方程式の両辺から $8 x$ を引きます。

$x^{2} - 6 x - 8 x = - 40$

ステップ 3.2.3.2

$- 6 x$ から $8 x$ を引きます。

$x^{2} - 14 x = - 40$

ステップ 3.2.4

方程式の両辺に $40$ を足します。

$x^{2} - 14 x + 40 = 0$

ステップ 3.2.5

たすき掛けを利用して $x^{2} - 14 x + 40$ を因数分解します。

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ステップ 3.2.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $40$ で、その和が $- 14$ です。

$- 10, - 4$

ステップ 3.2.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 10) (x - 4) = 0$

ステップ 3.2.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 10 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 3.2.7

$x - 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.2.7.1

$x - 10$ が $0$ に等しいとします。

$x - 10 = 0$

ステップ 3.2.7.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$x = 10$

ステップ 3.2.8

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.2.8.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 3.2.8.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 3.2.9

最終解は $(x - 10) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 10, 4$

ステップ 4

$\log (x - 6) - \log (8 x - 40) = \log (\frac{1}{x})$ が真にならない解を除外します。

$x = 10$

微分積分学準備 例

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