微分積分学準備例

$\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$

ステップ 1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) = 1 + \log (x - 4)$

ステップ 2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) - \log (x - 4) = 1$

ステップ 3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log (\frac{\frac{x^{2} + 16}{x + 4}}{x - 4}) = 1$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4} \cdot \frac{1}{x - 4}) = 1$

ステップ 5

$\frac{x^{2} + 16}{x + 4}$ に $\frac{1}{x - 4}$ をかけます。

$\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$

ステップ 6

対数の定義を利用して $\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$10^{1} = \frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}$

ステップ 7

分数を削除するためにたすき掛けします。

$x^{2} + 16 = 10 ((x + 4) (x - 4))$

ステップ 8

$10 ((x + 4) (x - 4))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 4) (x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 16 = 10 (x (x - 4) + 4 (x - 4))$

ステップ 8.1.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4))$

ステップ 8.1.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

ステップ 8.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$x \cdot - 4$ と $4 x$ について因数を並べ替えます。

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4)$

ステップ 8.2.1.2

$- 4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4)$

ステップ 8.2.1.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 4 \cdot - 4)$

ステップ 8.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} + 4 \cdot - 4)$

ステップ 8.2.2.2

$4$ に $- 4$ をかけます。

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} - 16)$

ステップ 8.2.3

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 8.2.3.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} + 10 \cdot - 16$

ステップ 8.2.3.2

$10$ に $- 16$ をかけます。

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} - 160$

ステップ 9

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 9.1

方程式の両辺から $10 x^{2}$ を引きます。

$x^{2} + 16 - 10 x^{2} = - 160$

ステップ 9.2

$x^{2}$ から $10 x^{2}$ を引きます。

$- 9 x^{2} + 16 = - 160$

ステップ 10

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 10.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$- 9 x^{2} + 4^{2} = - 160$

ステップ 10.2

$9 x^{2}$ を ${(3 x)}^{2}$ に書き換えます。

$- {(3 x)}^{2} + 4^{2} = - 160$

ステップ 10.3

$- {(3 x)}^{2}$ と $4^{2}$ を並べ替えます。

$4^{2} - {(3 x)}^{2} = - 160$

ステップ 10.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 4$ であり、 $b = 3 x$ です。

$(4 + 3 x) (4 - (3 x)) = - 160$

ステップ 10.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$(4 + 3 x) (4 - 3 x) = - 160$

ステップ 11

$(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ を簡約します。

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ステップ 11.1

分配法則（FOIL法）を使って $(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ を展開します。

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ステップ 11.1.1

分配則を当てはめます。

$4 (4 - 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

ステップ 11.1.2

分配則を当てはめます。

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

ステップ 11.1.3

分配則を当てはめます。

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

ステップ 11.2

項を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 11.2.1.1

$4 (- 3 x)$ と $3 x \cdot 4$ について因数を並べ替えます。

$4 \cdot 4 - 3 \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x + 3 x (- 3 x) = - 160$

ステップ 11.2.1.2

$- 3 \cdot 4 x$ と $3 \cdot 4 x$ をたし算します。

$4 \cdot 4 + 0 + 3 x (- 3 x) = - 160$

ステップ 11.2.1.3

$4 \cdot 4$ と $0$ をたし算します。

$4 \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

ステップ 11.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

$4$ に $4$ をかけます。

$16 + 3 x (- 3 x) = - 160$

ステップ 11.2.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$16 + 3 \cdot - 3 x \cdot x = - 160$

ステップ 11.2.2.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 11.2.2.3.1

$x$ を移動させます。

$16 + 3 \cdot - 3 (x \cdot x) = - 160$

ステップ 11.2.2.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$16 + 3 \cdot - 3 x^{2} = - 160$

ステップ 11.2.2.4

$3$ に $- 3$ をかけます。

$16 - 9 x^{2} = - 160$

ステップ 12

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 12.1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$- 9 x^{2} = - 160 - 16$

ステップ 12.2

$- 160$ から $16$ を引きます。

$- 9 x^{2} = - 176$

ステップ 13

$- 9 x^{2} = - 176$ の各項を $- 9$ で割り、簡約します。

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ステップ 13.1

$- 9 x^{2} = - 176$ の各項を $- 9$ で割ります。

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

ステップ 13.2

左辺を簡約します。

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ステップ 13.2.1

$- 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

ステップ 13.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 176}{- 9}$

ステップ 13.3

右辺を簡約します。

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ステップ 13.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x^{2} = \frac{176}{9}$

ステップ 14

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{176}{9}}$

ステップ 15

$\pm \sqrt{\frac{176}{9}}$ を簡約します。

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ステップ 15.1

$\sqrt{\frac{176}{9}}$ を $\frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$

ステップ 15.2

分子を簡約します。

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ステップ 15.2.1

$176$ を $4^{2} \cdot 11$ に書き換えます。

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ステップ 15.2.1.1

$16$ を $176$ で因数分解します。

$x = \pm \frac{\sqrt{16 (11)}}{\sqrt{9}}$

ステップ 15.2.1.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 11}}{\sqrt{9}}$

ステップ 15.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{9}}$

ステップ 15.3

分母を簡約します。

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ステップ 15.3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{3^{2}}}$

ステップ 15.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

ステップ 16

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 16.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

ステップ 16.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

ステップ 16.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}, - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

ステップ 17

$\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

ステップ 18

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

10進法形式：

$x = 4.42216638 \dots$

微分積分学準備 例

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