微分積分学準備例

$\ln (x + 3) = \ln (8) - \ln (x - 4)$

ステップ 1

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (x + 3) = \ln (\frac{8}{x - 4})$

ステップ 2

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$x + 3 = \frac{8}{x - 4}$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = \frac{8}{x - 4} - 3$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x - 4, 1$

ステップ 3.2.2

括弧を削除します。

$1, x - 4, 1$

ステップ 3.2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x - 4$

ステップ 3.3

$x = \frac{8}{x - 4} - 3$ の各項に $x - 4$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.3.1

$x = \frac{8}{x - 4} - 3$ の各項に $x - 4$ を掛けます。

$x (x - 4) = \frac{8}{x - 4} (x - 4) - 3 (x - 4)$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 4 = \frac{8}{x - 4} (x - 4) - 3 (x - 4)$

ステップ 3.3.2.2

式を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 4 = \frac{8}{x - 4} (x - 4) - 3 (x - 4)$

ステップ 3.3.2.2.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 4 x = \frac{8}{x - 4} (x - 4) - 3 (x - 4)$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1.1

$x - 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$x^{2} - 4 x = \frac{8}{x - 4} (x - 4) - 3 (x - 4)$

ステップ 3.3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$x^{2} - 4 x = 8 - 3 (x - 4)$

ステップ 3.3.3.1.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 4 x = 8 - 3 x - 3 \cdot - 4$

ステップ 3.3.3.1.3

$- 3$ に $- 4$ をかけます。

$x^{2} - 4 x = 8 - 3 x + 12$

ステップ 3.3.3.2

$8$ と $12$ をたし算します。

$x^{2} - 4 x = - 3 x + 20$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

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ステップ 3.4.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.4.1.1

方程式の両辺に $3 x$ を足します。

$x^{2} - 4 x + 3 x = 20$

ステップ 3.4.1.2

$- 4 x$ と $3 x$ をたし算します。

$x^{2} - x = 20$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺から $20$ を引きます。

$x^{2} - x - 20 = 0$

ステップ 3.4.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 20$ を因数分解します。

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ステップ 3.4.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 20$ で、その和が $- 1$ です。

$- 5, 4$

ステップ 3.4.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 5) (x + 4) = 0$

ステップ 3.4.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 3.4.5

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.5.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 3.4.5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 3.4.6

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.6.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 3.4.6.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 3.4.7

最終解は $(x - 5) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, - 4$

ステップ 4

$\ln (x + 3) = \ln (8) - \ln (x - 4)$ が真にならない解を除外します。

$x = 5$

微分積分学準備 例

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