微分積分学準備例

$\ln (x + 1) + \ln (x) = 0$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln ((x + 1) x) = 0$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$\ln (x \cdot x + 1 x) = 0$

ステップ 1.3

式を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (x^{2} + 1 x) = 0$

ステップ 1.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\ln (x^{2} + x) = 0$

ステップ 2

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x^{2} + x)} = e^{0}$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\ln (x^{2} + x) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{0} = x^{2} + x$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $x^{2} + x = e^{0}$ として書き換えます。

$x^{2} + x = e^{0}$

ステップ 4.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x^{2} + x = 1$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} + x - 1 = 0$

ステップ 4.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.5

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6

簡約します。

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ステップ 4.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 4.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

ステップ 4.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

ステップ 5

$\ln (x + 1) + \ln (x) = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

10進法形式：

$x = 0.61803398 \dots$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例