微分積分学準備例

$\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$

ステップ 1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln ((2 x + 5) (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

ステップ 1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 5) (x - 7)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\ln (2 x (x - 7) + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

ステップ 1.2.1.2

分配則を当てはめます。

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

ステップ 1.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

ステップ 1.2.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\ln (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

ステップ 1.2.2.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$- 7$ に $2$ をかけます。

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

$5$ に $- 7$ をかけます。

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

ステップ 1.2.2.2

$- 14 x$ と $5 x$ をたし算します。

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

ステップ 2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x)$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (x)$ を簡約します。

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - \ln (x^{2}) = 0$

ステップ 2.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 x - 35}{x^{2}}) = 0$

ステップ 2.1.3

群による因数分解。

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ステップ 2.1.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 35 = - 70$ で和が $b = - 9$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.3.1.1

$- 9$ を $- 9 x$ で因数分解します。

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 (x) - 35}{x^{2}}) = 0$

ステップ 2.1.3.1.2

$- 9$ を $5$ プラス $- 14$ に書き換える

$\ln (\frac{2 x^{2} + (5 - 14) x - 35}{x^{2}}) = 0$

ステップ 2.1.3.1.3

分配則を当てはめます。

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

ステップ 2.1.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\ln (\frac{(2 x^{2} + 5 x) - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

ステップ 2.1.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\ln (\frac{x (2 x + 5) - 7 (2 x + 5)}{x^{2}}) = 0$

ステップ 2.1.3.3

最大公約数 $2 x + 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{0} = \frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}$

ステップ 4

分数を削除するためにたすき掛けします。

$(2 x + 5) (x - 7) = e^{0} (x^{2})$

ステップ 5

$e^{0} (x^{2})$ を簡約します。

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ステップ 5.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$(2 x + 5) (x - 7) = 1 x^{2}$

ステップ 5.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$(2 x + 5) (x - 7) = x^{2}$

ステップ 6

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$(2 x + 5) (x - 7) - x^{2} = 0$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 5) (x - 7)$ を展開します。

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ステップ 6.2.1.1

分配則を当てはめます。

$2 x (x - 7) + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

ステップ 6.2.1.2

分配則を当てはめます。

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

ステップ 6.2.1.3

分配則を当てはめます。

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

ステップ 6.2.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.1

$x$ を移動させます。

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

ステップ 6.2.2.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

ステップ 6.2.2.1.2

$- 7$ に $2$ をかけます。

$2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

ステップ 6.2.2.1.3

$5$ に $- 7$ をかけます。

$2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35 - x^{2} = 0$

ステップ 6.2.2.2

$- 14 x$ と $5 x$ をたし算します。

$2 x^{2} - 9 x - 35 - x^{2} = 0$

ステップ 6.3

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

ステップ 7

方程式の両辺に $35$ を足します。

$x^{2} - 9 x = 35$

ステップ 8

方程式の両辺から $35$ を引きます。

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

ステップ 9

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 10

$a = 1$ 、 $b = - 9$ 、および $c = - 35$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 35)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分子を簡約します。

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ステップ 11.1.1

$- 9$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 35$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.1.2.2

$- 4$ に $- 35$ をかけます。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 140}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.1.3

$81$ と $140$ をたし算します。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2}$

ステップ 12

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}, \frac{9 - \sqrt{221}}{2}$

ステップ 13

$\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

ステップ 14

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

10進法形式：

$x = 11.93303437 \dots$

微分積分学準備 例

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