微分積分学準備例

$\ln (2 x^{2} + e x) = 2$

ステップ 1

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (2 x^{2} + e x)} = e^{2}$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\ln (2 x^{2} + e x) = 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2} = 2 x^{2} + e x$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $2 x^{2} + e x = e^{2}$ として書き換えます。

$2 x^{2} + e x = e^{2}$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $e^{2}$ を引きます。

$2 x^{2} + e x - e^{2} = 0$

ステップ 3.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4

$a = 2$ 、 $b = e$ 、および $c = - e^{2}$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- e \pm \sqrt{e^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- e^{2}))}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

$- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.5.1.1.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- e \pm \sqrt{e^{2} - 8 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.5.1.1.2

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- e \pm \sqrt{e^{2} + 8 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.5.1.2

$e^{2}$ と $8 e^{2}$ をたし算します。

$x = \frac{- e \pm \sqrt{9 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.5.1.3

$9 e^{2}$ を ${(3 e)}^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- e \pm \sqrt{{(3 e)}^{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.5.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- e \pm 3 e}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- e \pm 3 e}{4}$

ステップ 3.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{e}{2}, - e$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{e}{2}, - e$

10進法形式：

$x = 1.35914091 \dots, - 2.71828182 \dots$

微分積分学準備 例

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