微分積分学準備例

$\ln (x) + \ln (x + 1) = 8$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (x (x + 1)) = 8$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$\ln (x \cdot x + x \cdot 1) = 8$

ステップ 1.3

式を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (x^{2} + x \cdot 1) = 8$

ステップ 1.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\ln (x^{2} + x) = 8$

ステップ 2

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x^{2} + x)} = e^{8}$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\ln (x^{2} + x) = 8$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{8} = x^{2} + x$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $x^{2} + x = e^{8}$ として書き換えます。

$x^{2} + x = e^{8}$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $e^{8}$ を引きます。

$x^{2} + x - e^{8} = 0$

ステップ 4.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.4

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = - e^{8}$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{8}))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{8})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 4.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 e^{8})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 e^{8}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 e^{8}}}{2}$

ステップ 4.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 e^{8}}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{1 + 4 e^{8}}}{2}$

ステップ 5

$\ln (x) + \ln (x + 1) = 8$ が真にならない解を除外します。

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 e^{8}}}{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 e^{8}}}{2}$

10進法形式：

$x = 54.10043944 \dots$

微分積分学準備 例

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