微分積分学準備例

$\cot (\frac{x}{2}) = 1$

ステップ 1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} = arccot (1)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$arccot (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

ステップ 3

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

ステップ 4

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

ステップ 4.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 \frac{π}{4}$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

ステップ 4.2.1.2

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.2.1.3

式を書き換えます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 5

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} = π + \frac{π}{4}$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

ステップ 6.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

ステップ 6.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 (π + \frac{π}{4})$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$2 (π + \frac{π}{4})$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 (π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

ステップ 6.2.2.1.2

項を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = 2 (\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4})$

ステップ 6.2.2.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 6.2.2.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.2.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 (2)}$

ステップ 6.2.2.1.2.3.2

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.2.2.1.2.3.3

式を書き換えます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{2}$

ステップ 6.2.2.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{2}$

ステップ 6.2.2.1.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{2}$

ステップ 7

$\cot (\frac{x}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 7.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 7.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$π \cdot 2$

ステップ 7.5

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$2 π$

ステップ 8

$\cot (\frac{x}{2})$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{5 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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